NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GABUNGAN GRAF HELM

Abstract

Teori graf merupakan salah satu teori lama yang hingga saat ini semakin gencar diaplikasinya oleh para ilmuan, baik dalam bidang ilmu matematika sendiri maupun dalam bidang ilmu lainnya. Salah satu topik yang mendapat perhatian dalam teori graf adalah pelabelan graf atau graph labelling. Pela- belan graf ini dapat berupa pelabelan total titik irregular ataupun pelabelan total sisi irregular. Dan kini peneliti hendak melakukan penelitina yang berke- naan dengan pelabelan total sisi irregular pada gabungan Graf Helm. Graf Helm itu sendiri ialah graf yang dinotasikan dengan Hn merupakan bentuk graf yang terbentuk dari sebuah Graf Roda Wn dengan penambahan sisi pendant atau bandul pada setiap titik dari sikel ke-n. Sedemikian hingga jika vj adalah titik ke-j dari Wn dan uj adalah titik pada bandul ke-j, maka ujvj adalah sisi bandul ke-j untuk setiap j = 1,2,...,n. Graf Helm Hn mempunyai 2n + 1 titik dan 3n sisi. Permasalahannya adalah bagaimana melabeli Graf Helm dan gabungannya sedemikian hingga bilangan bulat positif terbesar yang dijadikan label pada beberapa variasi pelabelan total sisi irregular adalah seminimum mungkin. Bilangan bulat positif terbesar yang minimum tersebut dinamakan dengan total irregularity edge strength dari graf G yang dinotasikan dengan tes(G). Tujuan dari penelitian ini tak lain adalah untuk mengetahui berapa nilai (tes) dari gabungan Graf Helm, baik gabungan Isomorfis maupun Non-Isomorfis. Penelitian ini diawali dengan menentukan nilai batas bawah dari tes gabu- ngan G⌈raf H⌉lm dengan menerapkan teorema Bača, Jendrol, Miller, Ryan (2002)

yakni

|E|+2 3 ≤ tes(G) ≤ |E|, selanjutnya menentukan nilai batas atas dari tes

gabungan Graf Helm dengan mencari formulasi dari pelabelan total sisi irreg- ularnya sedemikian hingga bobot setiap sisi berbeda. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deduktif aksiomatik, yaitu dengan menurunkan teorema yang telah ada, kemudian diterapkan dalam pelabelan total sisi irregular dari total edge irregularity strength (tes) pada gabungan Graf Helm, baik gabungan Isomorfis maupun Non-Isomorfis. Sesuai dengan tujuan dan hasil dalam penelitian ini, ditemukan beberapa teorema baru mengenai nilai tes dari pelabelan total sisi irregular pada gabungan Graf Helm yaitu: Teorema 4.1.1 Nilai Total Edge Irregularity Strength dari Gabungan Graf Helm Isomorfis tes(⋃ s Hn) untuk s ≥ 2 dan n ≥ 3 adalah

⋃

⌈3sn+2

⌉

tes( s Hn) = 3 Teorema 4.2.1 Nilai Total Edge Irregularity Strength dari Gabungan Graf ⋃s Helm Non − isomorfis ( i=1 Hni) untuk s ≥ 2 dan n ≥ 3 adalah ⌈ Ps ⌉ (3( i=1 ni)+2) tes(⋃i=1 Hni) = 3