EFEKTIVITAS METODE RUNGE-KUTTA ORDE TUJUH TERHADAP METODE MULTISTEP ADAMS ORDE ENAM PADA MODEL PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOSIS (TB)

Abstract

Metode Runge-Kutta merupakan metode numerik yang memiliki tingkat keakuratan tinggi. Namun untuk mengetahui tingkat efektivitas dan efisiensi dari metode tersebut diperlukan suatu metode pembanding dalam menyelesaikan suatu masalah matematika. Dalam penelitian ini, metode Runge-Kutta yang dimaksud adalah metode Runge-Kutta Orde Tujuh (RK7) dengan metode pembanding Adams Basforth-Moulton Orde Enam (ABM6). Masalah matematika yang dianalisis ialah model penyebaran penyakit Tuberkulosis (TB) Reinfeksi Eksogen yang berupa sistem persamaan diferensial biasa orde satu non linier yang dikembangkan oleh C.C.Chavez pada tahun 2000. Tujuan penelitian ini ialah untuk mengembangkan formula metode RK7, membuktikan konvergensinya, membuat ”listing programming” dari metode RK7 dan ABM6 dalam menyelesaikan model penyebaran penyakit TB serta mendeskripsikan efektivitas dan efisiensinya. Formulasi RK7 masih belum dikembangkan sehingga peneliti mengembangkan sendiri formulasi dari RK7 tersebut dan menghasilkan empat formula yaitu pada ”lemma (4.1), corollary (4.1), (4.2), (4.3) dan (4.4)” serta pembuktian konvergensi secara teoritis dari RK7 yang disajikan pada teorema (4.1). Efektivitas ditentukan berdasarkan tingkat keakuratan solusi yang diberikan oleh listing programming atau dengan kata lain semakin kecil error yang dihasilkan, maka metode tersebut semakin efektif. Sehingga dengan menetapkan suatu iterasi tertentu, maka tingkat efektivitas suatu metode dapat dibandingkan. Efisiensi ditentukan berdasarkan cepat atau lambatnya suatu program dalam menyelesaikan suatu masalah matematika dan dibandingkan dengan toleransi (error) yang telah ditetapkan. Data yang dihasilkan antara lain FLOPS, waktu, galat, grafik hubungan populasi dengan waktu dan grafik konvergensi iterasi dengan error yang dihasilkan. Pada iterasi 100, 500, 1000 dan 10.000, metode RK7, khususnya metode RK7B1 merupakan metode yang lebih efektif dibanding metode ABM6 karena menghasilkan kesalahan (error) yang lebih kecil pada iterasi yang sama. Berdasarkan analisis terhadap formula, RK7B1 merupakan metode RK dengan koefisien matrik yang padat sehingga menghasilkan jumlah operasi aritmatik yang sangat banyak, dengan demikian FLOPS yang dihasilkan berbanding lurus dan menghasilkan solusi yang paling akurat. Pada toleransi 10 −1 , 10 −2 , 10 −3 , 10 −4 dan 10 −5 metode RK7, khususnya metode RK7A2 merupakan metode yang lebih efisien dibanding metode ABM6 karena memerlukan waktu yang lebih sedikit pada toleransi yang sama. Berdasarkan analisis terhadap formulasi RK7A2, formula tersebut memiliki koefisien matrik yang paling minimum sehingga jumlah operasi aritmatik yang diperlukan programming juga sedikit, akibatnya FLOPS yang dihasilkan sangat minimum dan mengakibatkan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sistem persamaaan diferensial penyebaran penyakit Tuberkulosis menjadi cepat. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa pada iterasi dan toleransi yang telah ditentukan di atas, metode Runge-Kutta Orde Tujuh merupakan metode yang lebih efektif dan efisien dibanding metode Adams Bashforth Moulton Orde Enam pada model penyebaran penyakit TB kasus reinfeksi eksogen.