Pelabelan Total Super (a; d) Sisi Antimagic Pada Graf Siput

Abstract

Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh Sedl¶a·cek (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970). Hingga saat ini pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, navigasi geogra¯s, radar, penyimpanan data komputer, dan pemancar frekuensi radio. Terdapat berbagai jenis tipe pelabelan dalam graf, salah satunya adalah pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic (SEAT), dimana a bobot sisi terkecil dan d nilai beda. Pelabelan ini diperkenalkan oleh Simanjutak, Bertault dan Miller pada tahun 2000 (Da¯k, 2007:19). Pada graf konektif telah banyak ditemukan pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic sedangkan pada graf diskonektif, hanya sedikit famili graf yang diketahui mempunyai pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic. Salah satu jenis graf yaitu Graf Siput. Graf ini merupakan salah satu contoh graf well ¡defined, yang dinotasikan dengan S adalah salah satu graf yang belum ditemukan pelabelannya sebelumnya. Graf Siput adalah graf yang belum memiliki famili graf. Graf ini dikembangkan dari graf roda (wheel). Gabungan diskonektif Graf Siput merupakan gabungan saling lepas pada Graf Siput dan dinotasikan dengan mS n n juga belum ditemukan pelabelannya. Himpunan vertex, V = fS; N; A; I; L; E; R; Y i ; X i ; 1 · i · ng dan himpunan edge, E = fRE; EY ; Y i X i ; X i Y i+1 ; X n S; SN; NA; AL; IL; LE; LX rupakan contoh Graf Siput (S n i ; 1 · i · ng. Gambar 2.21 me- ). Garis putus-putus menunjukkan bagian yang akan diperbesar sebanyak n. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif aksiomatik, yaitu dengan menurunkan lemma atau teorema yang telah ada, kemudian diterapkan dalam pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada Graf Siput, baik yang tunggal maupun gabungan saling lepasnya. Dalam penelitian ini, terlebih viii 1 dahulu akan ditentukan nilai beda (d) pada Graf Siput, selanjutnya nilai d tersebut diterapkan dalam pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada Graf Siput. Jika terdapat pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic, maka akan dirumuskan bagaimana pola pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada Graf Siput tersebut dengan menggunakan metode pendeteksian pola (pattern recognition) untuk menentukan pola umumnya. Hasil penelitian ini berupa lemma dan teorema baru mengenai pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada Graf S . Teorema dan lema yang dihasilkan adalah sebagai berikut: 1. Lema 4.2.1 Ada pelabelan titik (9; 1)-sisi antimagic pada graf Siput S n jika n ¸ 1. 2. Teorema 4.2.1 Ada pelabelan total super (6n +20; 0) dan (3n +14; 2) -sisi antimagic pada graf Siput S n jika n ¸ 1. 3. Teorema 4.2.2 Ada pelabelan total super ( 9n+34 2 ; 1)-sisi antimagic pada graf Siput (S n ) untuk n ¸ 1. 4. Lema 4.4.1 Ada pelabelan titik ( 2mn+9m+3 2 ; 1)-sisi antimagic pada gabungan Graf Siput mS n jika m ganjil, m ¸ 3, n ¸ 1. 5. Teorema 4.4.1 Ada pelabelan total super ( 12mn+37m+3 2 ; 0) dan ( dan mS ; 2)sisi antimagic pada gabungan graf Siput mS 6. Teorema 4.4.2 Ada pelabelan total super ( n jika m ¸ 3, n ¸ 1. 9mn+30m+4 2 ; 1)-sisi antimagic pada gabungan graf Siput mS n jika m ¸ 3, n ¸ 1. Dari kajian diatas ada beberapa batasan m dan n yang belum ditemukan sehingga dalam penelitian ini diajukan open problem. 1. Masalah Terbuka 4.5.1 Pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada S n , dengan 1 · i · n; 1 · k · m; n ganjil untuk d = 1. 2. Masalah Terbuka 4.5.2 Pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada mS n , dengan 1 · k · m, 1 · i · n; m ¸ 3; n ganjil untuk d = 1.