Pewarnaan Titik Ketakteraturan Lokal Inklusif pada Hasil Operasi Comb Graf Bintang

Abstract

Pewarnaan graf merupakan pemberian warna yang berbeda pada setiap elemen graf sedemikian sehingga setiap elemen yang bertetangga memiliki warna yang berbeda. Banyak warna minimum pada graf G dinamakan bilangan kromatik dan dinotasikan dengan 𝜒(𝐺). Penelitian ini mengkaji tentang pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada hasil operasi comb graf bintang. Pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif merupakan pengembangan dari pewarnaan titik ketakteraturan lokal dimana bobot titik yang dihasilkan merupakan hasil penjumlahan dari label titik yang bertetangga dan label titik dirinya sendiri. Pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif merupakan penggabungan dari pelabelan ketakteraturan dan pewarnaan titik dengan cara meminimumkan label titik dan jumlah warna pada graf. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif dinotasikan dengan χ𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐺). Penelitian ini menggunakan graf hasil operasi comb dari graf bintang yaitu 𝑆𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛, 𝐾𝑚,𝑃 ▷𝑣0 𝑆𝑛, 𝐹𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛, 𝐹𝑟𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛, dan 𝐶𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛. Adapun hasil dari penelitian ini berupa lima teorema baru mengenai pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada hasil operasi comb graf bintang. Teorema yang dihasilkan adalah sebagai berikut : Teorema 4.1.1. Misalkan (𝑆𝑚) adalah graf bintang dengan order 𝑚 + 1 dan (𝑆𝑛) adalah graf bintang dengan order 𝑛 + 1, untuk 𝑚 ≥ 3 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan dari graf bintang (𝑆𝑛) berderajat 𝑛, maka bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf 𝑆𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛 adalah 𝜒𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝑆𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛) = 3. Teorema 4.1.2. Misalkan (𝐾𝑚,𝑝) dan (𝑆𝑛) adalah graf komplit bipartite dan graf bintang. Untuk setiap 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan dari graf bintang (𝑆𝑛) berderajat 𝑛, maka bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf 𝐾𝑚,𝑝 ▷𝑣0 𝑆𝑛 adalah 𝜒𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾𝑚,𝑝 ▷𝑣0 𝑆𝑛) = {3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 ≠ 𝑝, 𝑛 ≥ 3 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 = 𝑝, 𝑛 ≥ 3 . Teorema 4.1.3. Misalkan (𝐹𝑚) dan (𝑆𝑛) adalah graf kipas dan graf bintang. Untuk setiap 𝑚 ≥ 4 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan dari graf bintang (𝑆𝑛) berderajat 𝑛, maka bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf 𝐹𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛 adalah 𝜒𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛) = 5. Teorema 4.1.4. Misalkan (𝐹𝑟𝑚) dan (𝑆𝑛) adalah graf persahabatan dan graf bintang. Untuk setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan dari graf bintang (𝑆𝑛) berderajat 𝑛, maka bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf 𝐹𝑟𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛 adalah 𝜒𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑟𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛) = 4. Teorema 4.1.5. Misalkan (𝐶𝑚) dan (𝑆𝑛) adalah graf lingkaran dan graf bintang. Untuk setiap 𝑚 ≥ 3 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan dari graf bintang (𝑆𝑛) berderajat 𝑛, maka bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf 𝐶𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛 adalah 𝜒𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐶𝑚 ▷𝑣0 𝑆𝑛) = {3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝑛 ≥ 3 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙, 𝑛 ≥ 3