Modifikasi Algoritma Newton Raphson Tiga Langkah Berorde Tinggi dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier (SPNL)

Abstract

Sistem persamaan nonlinier dibentuk dari beberapa persamaan nonlinier yang saling mempengaruhi satu sama lain. Umumnya, sistem persamaan nonlinier sulit atau bahkan tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik, sehingga untuk mencari solusi dari sistem persamaan nonlinier tersebut para ahli menggunakan metode numerik. Solusi sistem persamaan nonlinier adalah nilai-nilai variabel bebas yang mengakibatkan sistem persamaan bernilai nol. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier yaitu metode Newton Raphson. Salah satu contoh dari pengembangan metode Newton Raphson adalah modifikasi algoritma Newton Raphson tiga langkah berorde tinggi dalam penyelesaian sistem persamaan nonlinier. Penelitian ini dimulai dari menentukan beberapa sistem persamaan nonlinier dari beberapa artikel yang akan diteliti berupa sistem persamaan nonlinier tiga variabel. Kemudian menentukan nilai parameter yang digunakan yaitu nilai awal, galat toleransi, dan iterasi maksimal. Setelah itu, mencari solusi sistem persamaan nonlinier menggunakan algoritma yang diteliti. Kebenaran dan keakuratan pada algoritma yang diteliti, peneliti membuktikan dengan cara membandingkan solusi sistem persamaan nonlinier menggunakan algoritma yang diteliti dengan solusi sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Newton Raphson, metode Cordero, metode KHM, dan metode terbaik Farida. Hasil penyelesaian sistem persamaan nonlinier menggunakan algoritma yang diteliti menunjukkan bahwa dalam pencarian solusi dari sistem persamaan nonlinier dengan menggunakan algoritma yang diteliti sangat cepat mendekati solusi eksak. Jika dibandingkan dengan metode Newton Raphson, metode Cordero, metode KHM, dan metode terbaik Farida dalam pencarian solusi sistem persamaan nonlinier, algoritma yang diteliti lebih cepat mendekati solusi dibandingkan metode tersebut. Karena, dapat dilihat dari banyaknya iterasi yang dibutuhkan dalam pencarian solusi menggunakan algoritma yang diteliti lebih sedikit dibandingkan menggunakan metode - metode tersebut dalam penyelesaian sistem persamaan nonlinier. Hal ini sesuai dengan analisis orde konvergensi algoritma yang diteliti lebih tinggi dibandingkan menggunakan metode Newton Raphson, metode Cordero, metode KHM, dan algoritma terbaik Farida. Penelitian ini juga dilakukan simulasi program guna mengetahui waktu atau iterasi program dengan menggunakan algoritma yang diteliti serta membandingkan dengan metode Newton Raphson, metode Cordero, metode KHM, dan metode terbaik Farida. Simulasi program pada penelitian ini menggunakan lima sistem persamaan nonlinier dengan masing – masing nilai awal, galat toleransi sebesar 10^(-15) dan iterasi maksimal sebesar 50. Dari simulasi yang telah dilakukan, banyaknya iterasi yang dibutuhkan dalam pencarian solusi menggunakan algoritma yang diteliti lebih sedikit dibandingkan menggunakan metode Newton Raphson, metode Cordero, metode KHM, dan algoritma terbaik Farida dalam penyelesaian sistem persamaan nonlinier.