Solusi Lengkap Sistem Eigen Operator Matriks Hermitian dengan Metode Analitik dan Diagonalisasi Matriks

Abstract

Operator matriks Hermitian adalah salah satu bentuk operator atau instruksi berupa matriks yang mempunyai sifat Hermitian, dengan syarat utama berupa operator matriks yang digunakan merupakan matriks bujur sangkar (matriks dengan ordo n × n) yang mempunyai nilai determinan yang sama dengan nol. Penyelesaian terhadap persoalan eigen operator matriks hermitian menghasilkan nilai sistem eigen, yaitu suatu bentuk penyelesaian akhir berupa kumpulan dari beberapa macam komponen variabel, diantaranya nilai eigen dan fungsi eigen atau vektor eigen. Tujuan utama dari penelitian ini adalah menentukan solusi lengkap sistem eigen operator matriks hermitian dengan metode analitik dan diagonalisasi matriks ordo 𝑛 ×𝑛. Jenis penelitian ini adalah basic research pada bidang fisika teori berupa pengembangan teori mekanika kuantum. Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Lanjut, Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pengetahuan, Universitas Jember. Sumber data yang digunakan dalam penelitian ini bersumber dari buku, jurnal, dan internet tentang persoalan eigen, operator matriks hermitian, metode analitik, metode diagonalisasi matriks, dan sistem eigen. Metode penyelesaian persoalan eigen dalam penelitian ini yaitu menggunakan metode analitik dan diagonalisasi matriks terhadap operator matriks hermitian berordo 2×2, ordo 3×3, dan ordo 4×4 dengan bilangan penyusunnya berupa bilangan riil rasional. Setelah didapatkan solusi lengkap sistem eigen, kemudian hasilnya dianalisis terhadap hasil yang dijadikan sebagai validasi dan dilakukan pembuktian. Desain penelitian yang digunakan diantaranya tahap persiapan, tahap pengembangan teori, tahap hasil pengembangan teori, tahap validasi hasil pengembangan teori, tahap pembahasan, dan tahap kesimpulan. Berdasarkan hasil penelitian, setiap persoalan eigen operator matriks hermitian mempunyai penyelesaian nilai eigen dan fungsi eigen/vektor eigen sebanyak jumlah ordo operator matriks, dimana dari satu nilai eigen dan fungsi eigen/vektor eigen membentuk satu penyelesaian sistem eigen. Metode analitik lebih efisien digunakan dalam penyelesaian persoalan eigen operator matriks hermitian berordo 2×2, sedangkan metode diagonalisasi matriks lebih efisien digunakan dalam penyelesaan persoalan eigen operator matriks hermitian berordo 3×3 atau lebih. Penyelesaian terhadap persoalan eigen operator matriks hermitian menggunakan metode analitik dengan ordo matriks yang semakin besar mempunyai prosedur penyelesaian yang lebih panjang dan kompleks jika dibandingkan dengan metode diagonalisasi matriks.