TOTAL EDGE IRREGULARITY STRENGTH DARI GRAF ANTIPRISMA

Abstract

Teori graf merupakan salah satu cabang matematika aplikasi yang banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Graf adalah bentuk representasi dari beberapa objek beserta hubungannya, dengan memisalkan objek-objek terse- but sebagai suatu titik atau noktah (vertex), sedangkan hubungan antara ob- jek dinyatakan dengan garis atau sisi (edge). Sampai saat ini berbagai macam topik penelitian terkait graf telah banyak ditemukan dan diantara topik-topik tersebut, pelabelan merupakan satu dari sekian banyak topik penelitian yang pengembangannya cukup populer. Ada berbagai macam jenis pelabelan yang telah diperkenalkan. Salah satunya adalah pelabelan total sisi irregular, yaitu pemberian label bilangan bulat positif (label ini boleh dipakai berulang) pada setiap elemen suatu graf dengan memperhatikan bobot sisi (jumlah label dari sisi dan 2 titik yang bertetanggaan) yang harus berbeda. Pelabelan total sisi irregular tampak mudah diterapkan pada berbagai macam graf karena label yang diberikan boleh berulang meski bobotnya harus berbeda. Namun, per- masalahan yang perlu dikaji dalam pelabelan total sisi irregular ini, yaitu bagai- mana melabeli graf tersebut sedemikian hingga nilai bilangan bulat positif ter- besar yang dijadikan label adalah seminimum mungkin. Bilangan bulat positif terbesar ini dinamakan total edge irregularity strength dan dinotasikan dengan tes(G). Adapun aplikasi dalam kehidupan nyata yang mirip dengan pelabelan jenis ini yaitu tentang penentuan biaya total pendistribusian barang produksi suatu perusahaan dalam skala sangat besar. Berbagai macam Penelitian tentang pelabelan total sisi irregular sebelum- nya sudah pernah dilakukan pada beberapa graf, namun masih terdapat be- gitu banyak famili graf yang belum tersentuh pelabelan jenis ini. Diantaranya adalah graf antiprisma (An) dengan n ¸ 3, yaitu suatu graf reguler berderajat 4 dengan jumlah titik 2n dan jumlah sisi 4n. Tersusun atas n-siklus luar x1x2x3 ¢ ¢ ¢ - xn dan n-siklus dalam y1y2y3 ¢ ¢ ¢ yn dan antara siklus luar dengan siklus dalam dihubungkan oleh sekumpulan jari-jari (xiyi), dan (xiy1+i (mod n)) untuk i = 1; 2; 3; : : : ; n. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui berapa nilai (tes) graf antiprisma tunggal dan gabungannya, baik yang isomorfis maupun non-isomorfis. Penelitian ini diawali dengan menentukan nilai batas bawah dan batas atas dari tes graf yang akan diteliti dengan menerapkan teorema dasar pela- belan total sisi irregular yakni d jEj +2 3 e · tes(G) · j Ej , dengan tujuan un- tuk menentukan rentang nilai tes(G) yang memungkinkan untuk digunakan dalam melabeli graf antiprisma. Selanjutnya melabeli dan menentukan for- mulasi dari pelabelan total sisi irregulernya sedemikian hingga bobot setiap sisinya berbeda. Berdasarkan rentang nilai tes(G) pada teorema dasar dan for- mulasi label tersebut kemudian didapatkan suatu teorema yang berlaku pada graf yang telah diteliti. Sesuai dengan tujuan dan hasil dalam penelitian ini, ditemukan beberapa teorema baru mengenai nilai tes dari pelabelan total sisi irreguler pada graf antiprisma yaitu: 1. tes(An) = d 4n+2 3 e , untuk n ¸ 3. 2. tes(sAn) = d 4sn+2 3 e , untuk s ¸ 1 dan n ¸ 3. 3. tes( S s k=1 An ) = d 4 Ps k=1 nk+2 3 e , untuk n ¸ 3, 1 · k · s dan s ¸ 1.