PENENTUAN SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN mKdV DENGAN METODE PREDIKTOR-KOREKTOR (ADAMS BASHFORTH-MOULTON) ORDE SEPULUH

Abstract

Tujuan penelitian yang hendak dicapai yaitu menentukan solusi numerik metode Adams Bashforth-Moulton Orde Sepuluh dari persamaan mKdV beserta analisis kestabilannya sehingga dapat diperoleh berapa nilai galat ketika syarat kestabilan telah terpenuhi. Lebih jelasnya, metode Adams Bashforth-Moulton Orde Sepuluh dengan diskritisasi beda hingga orde empat untuk turunan pertama terhadap spasial dan metode beda hingga orde dua untuk turunan ketiga terhadap spasial, yang mana di kedua turunan spasial tersebut masing-masing menggunakan skema one point and two points left and right dalam mencari dua titik di awal dan di akhir diskritisasi. Sedangkan untuk diskritisasi temporal digunakan metode Adams Bashforth-Moulton yang formula skema numeriknya telah diturunkan dan dibuktikan untuk orde sepuluh serta digunakan metode Runge-Kutta untuk mencari nilai 𝑞 pada grid 𝑠=1,2,…,9 sehingga skema Adams Bashforth-Moulton orde sepuluh bisa diterapkan untuk menghitung nilai 𝑞 pada grid temporal 𝑠=10,11,12,…,𝑁. Solusi yang diperoleh diverifikasi dengan solusi analitik yang berupa gelombang soliton untuk untuk menunjukkan bahwa skema numerik yang diterapkan memberikan hasil yang bersesuaian dengan solusi yang sesungguhnya. Penelitian ini sangat dipengaruhi oleh pengambilan nilai Δ𝑥 dan Δ𝑡 yang mana keduanya ditentukan dengan adanya analisis kestabilan dari skema Adams Bashforth-Moulton orde 10. Analisis kestabilan ini diperoleh dengan menerapkan analisis kestabilan Von Neumann dan teorema Enestrom-Kakeya sedemikian hingga terpenuhi kondisi faktor amplifikasi |𝐺|≤1 baik terhadap skema prediktor maupun skema korektor. Dari analisis yang dilakukan diketahui bahwa semakin kecil nilai dari Δ𝑥 maka nilai dari Δ𝑡 harus kecil pula yang memenuhi pertidaksamaan Δ𝑡≤ −1,468942281×10−3Δ𝑥32sin (𝜃)(C(cos(𝜃)Δ𝑥2−4CΔ𝑥2)+cos(𝜃)−1). Setelah dilakukan simulasi numerik, hasil yang diperoleh menunjukkan metode Adams Bashforth-Moulton Orde 10 dapat diterapkan untuk menyelesaikan pesamaan mKdV secara numerik dan memberikan hasil yang mendekati solusi eksak dengan soliton tunggal. Pada kondisi stabil diperoleh galat sebesar 1,29×10−2 dengan galat yang diperoleh semakin lama akan semakin besar dikarenakan adanya galat pemotongan beda hingga yang terakumulasi di setiap iterasinya.