| dc.description.abstract | Graf adalah salah salah kajian dalam matematika diskrit. Graf digunakan
untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek
diskrit tersebut. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek
kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi
serta himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Terdapat berbagai
jenis tipe pelabelan dalam graf, salah satunya adalah pelabelan total super(a; d)-
sisi antimagic (SEATL), dimana a bobot sisi terkecil dan d nilai beda.
Hasil utama dari penelitian yang akan dibahas terkait dengan pelabelan
total super (a; d)-sisi antimagic untuk sisi genap dan sisi ganjil yaitu lemma dan
teorema, serta didalam penenilitian ini juga menggunakan teknik calouring dan
berhasil mengeneralisasi keberadaan super edge antimagic total labeling pada
sembarang tree dan sembarang graf apabila nilai kromatik numbernya maksimal
3 dan juga berhasil menjawab untuk d = 1 untuk sisi genap. Terdapat beberapa
lemma dan teorema baru yang ditemukan secara eksperimental dalam penelitian
ini.
Contoh graf yang digunakan untuk pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic
dengan sisi ganjil yaitu shackle graf Kipas dengan notasi shack(F6;B2; n). Shackle
graf kipas merupakan sebuah graf yang dinotasikan dengan dengan himpunan
titik, V (shack(F6;B2; n)) = fxi; yj ; zi; 1 · i · n + 1 dan 1 · j · n + 2g
dan sisi adalah E(shack(F6;B2; n)) = ffxiyi; 1 · i · n + 1g [ fxiyi+1; 1 · i ·
n + 1g [ fyjyj+1; 1 · j · n + 2g [ fyjzj ; 1 · j · n + 1g [ fyjzj¡1; 2 · j ·
n+1g[fzizi+1; 1 · i · n+1gg. Pada shackle graf kipas dihasilkan jV j = 3n+1.
Sedangkan Jumlah sisi pada shackle graf kipas jEj = 6n¡1. Sehingga batas atas
nilai beda yaitu d · 2.
Untuk graf yang digunakan untuk pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic
dengan sisi genap yaitu graf H untuk mendapatkan EAV d=1 dan SEATL d=0,2.
Graf H memiliki himpunan titik, V (H) = fxi; yi; zi; 1 · i · n + 1g dan sisi
adalah E(H) = ffxiyi; 1 · i · n + 1g [ fyizi; 1 · i · n + 1g [ fyizi+1; 1 ·
i · ng [ fyiyi+1; 1 · i · ng [ fzixi+1; 2 · i · ng [ fzizi+1; 1 · i · ngg.
Sedangkan untuk pelabelan titik (a,1)-sisi antimagic maka digunakan Graf K yaitu
graf terhubung dengan himpunan vertex, V (K) = fxi; 1 · i · ng dan Sisi (edge)
adalah E(K) = ffxixi+1; 1 · i · n ¡ 1g [ fyizi; 1 · i · n + 1g [ fyizi+1; 1 · i ·
ng [ fxnx1g [ fxixi+2; 2 · i · n ¡ 2g banyak titik jV j = n dan banyaknya sisi
jEj = 2n ¡ 2.
Selain itu, dikaji mengenai hubungan antara Super Edge Antimagic Total
Labeling untuk graf konektif dan diskonektif. Sebelumnya juga telah dijabarkan
mengenai pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic dengan menggunakan teknik
pewarnaan. Oleh karena itu, peneliti mengungkapkan bahwa adanya hubungan
antara graf konektif dengan graf diskonektif yang memiliki bilangan kromatik
sama dengan dua dan tiga, serta aplikasi SEATL dalam kriptogra¯.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif aksiomatik
yaitu dengan menurunkan lema yang telah ada tentang nilai batas d dan lema
untuk pelabelan graf saat d = 1. Teorema dan lema yang dihasilkan adalah
sebagai berikut:
1. Teorema 4.1.1 Ada pelabelan titik (3; 1)-sisi antimagic pada shackle graf
kipas shack(F6;B2; n) jika n ¸ 1.
2. Teorema 4.1.2 Ada pelabelan total super (9n + 3; 0)-sisi antimagic dan
(3n+5; 2)-sisi antimagic pada shackle graf kipas shack(F6;B2; n) untuk n ¸
1.
3. Teorema 4.1.3 Ada pelabelan total super (6n + 4; 1)-sisi antimagic pada
shackle graf kipas shack(F6;B2; n) untuk n ¸ 1
4. Teorema 4.1.4 Ada pelabelan titik (4; 1)-sisi antimagic pada graf H yang
bersisi genap jika n ¸ 1.
5. Teorema 4.1.5 Ada pelabelan total super (9n + 9; 0)-sisi antimagic dan
(3n + 8; 2)-sisi antimagic pada graf H untuk n ¸ 1.
6. Lema 4.1.1 Misalkan ª merupakan sebuah himpunan bilangan ª = fc; c+
1; c + 2; : : : ; c + k+1
2 ; c + k+1
2 ; c + k+3
2 ; c + k+5
2 ; ¢ ¢ ¢ ; c + kg, dengan k ganjil.
Maka terdapat sebuah permutasi ¦(ª) dari anggota-anggota himpunan ª
sehingga ª + ¦(ª) juga merupakan sebuah himpunan bilangan berurutan
yaitu ª + ¦(ª) = f2c + k¡1
2 ; 2c + k+1
2 ; 2c + k+3
2 ; : : : ; 2c + 3k¡3
2 ; 2c + 3k¡1
2 g
7. Teorema 4.1.6 Ada pelabelan total super (2n + 2; 1)-sisi antimagic pada
graf K untuk n ¸ 1.
8. Teorema 4.1.6 Ada pelabelan total super (2n + 2; 1)-sisi antimagic pada
graf K untuk n ¸ 1.
9. Lema 4.1.2 Misalkan A adalah barisan A = f1; 2; 3; ¢ ¢ ¢ ; k; k+1g, k genap.
Maka terdapat dua permutasi B(A) dan C(A) dari anggota A yaitu A +
B(A);A+C(A);B(A)+C(A) membentuk barisan aritmatika yang berurutan.
10. Lema 4.1.3 Untuk n ¸ 3, bilangan kromatik dari shackle graf kipas adalah
Âshack(F6;B2; n) = 3.
11. Teorema 4.1.7 Ada pelabelan titik ( 3m+3
2 ; 1)-sisi antimagic pada gabungan
shackle graf kipas mshack(F6;B2; n) jika n ¸ 1.
12. Teorema 4.1.8 Ada pelabelan total super ( 18mn+3m+3
2 ; 0)-sisi antimagic dan
( 6mn+5m+5
2 ; 2)-sisi antimagic pada gabungan shackle graf kipas mshack(F6;B2; n)
untuk n ¸ 1.
13. Teorema 4.1.9 Ada pelabelan total super (6mn+2m+2; 1)-sisi antimagic
pada shackle graf kipas mshack(F6;B2; n) untuk n ¸ 1.
14. Lema 4.1.4 Untuk n ¸ 3, bilangan kromatik dari sisi genap graf H adalah
3.
15. Teorema 4.1.10 Ada pelabelan titik ( 5m+3
2 ; 1)-sisi antimagic pada gabungan
graf H jika n ¸ 1.
16. Teorema 4.1.11 Ada pelabelan total super ( 18mn+15m+3
2 ; 0)-sisi antimagic
dan ( 6mn+11m+5
2 ; 2)-sisi antimagic pada gabungan graf H untuk n ¸ 1.
17. Teorema 4.1.12 Ada pelabelan total super (2mn+2; 1)-sisi antimagic pada
gabungan graf K untuk n ¸ 1.
18. Teorema 4.1.13 Misalkan G merupakan sebuah graf pohon dan G memiliki
pelabelan titik (a; 1)-sisi antimagic maka gabungan saling lepasnya dari mG
memiliki pelabelan titik (b; 1)-sisi antimagic.
19. Teorema 4.1.14 Misalkan G merupakan sebuah graf yang memiliki bilan-
gan kromatik 3 dan G memiliki pelabelan titik (a; 1)-sisi antimagic maka
gabungan saling lepasnya dari mG memiliki pelabelan titik (b; 1)-sisi an-
timagic. | en_US |
