PELABELAN SUPER (a; d)-H-ANTIMAGIC TOTAL DEKOMPOSISI PADA GRAF WINDMILL

Abstract

Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang lahir pada tahun 1736. Salah satu topik yang dikaji dalam teori graf adalah pelabelan. Ter- dapat berbagai jenis tipe pelabelan dalam graf, salah satunya adalah pelabelan pelabelan total (total labeling). Dari waktu kewaktu pelabelan graf mengelami perkembangan materi, diantaranya pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, dan pelabelan super. Pelabelan ajaib (magic) adalah jika semua sisi mempunyai bobot yang sama sedangkan pelabelan anti ajaib (antimagic) mempunyai bobot sisi yang berbeda dan membentuk barisan aritmatika. Pelabelan super adalah pelabelan titik dan sisi dimana label titik kurang dari label sisi. Pelabelan ajaib selanjutnya dikembangkan menjadi pelabelan covering ajaib yang pertama kali diperkenalkan oleh Gutierrez dan Llado (2005). selanjutnya Inayah, dkk (2013) mengembangkan suatu pelabelan selimut H-antimagic, dengan penjelasan bahwa suatu pelabelan covering H-antimagic pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif sehingga terdapat jumlahan yang merupakan barisan aritmatika a; a + d; a + 2d; :::; a + (t ¡ 1)d. Pada penelitian ini penulis mengembangkan pelabelan super (a; d)-H-antima gic total dekomposisi pada graf windmill baik yang konektif maupun diskonek- tifnya, dimana dalam penelitian tersebut membutuhkan nilai batas atas dan fungsi bijektifnya. Dekomposisi pada graf windmill tunggal dinotasikan dengan WDn v . Sedangkan gabungan saling lepasnya dinotasikan dengan mWDn v yang dide¯n- isikan sebagai gabungan dari sebanyak m salinan graf windmill. Dekomposisi graf windmill adalah graf WDn 5 dengan 4n+1 titik V (WDn 5 ) = fA; xi; yi; zi; pi; 1 · i · ng dan 10n sisi E(WDn 5 ) = fAxi; Ayi; Azi; Api; xiyi; xizi; xipi; yizi; yipi; zipi; 1 · i · ng. Adapun gabungan graf windmill mWDn 5 dide¯n- isikan sebagai gabungan dari sebanyak m graf graf windmill yang mempunyai titik V (mWDn 5 ) = fAj ; xj i ; yj i ; zj i ; pj i ; 1 · i · n ; 1 · j · mg dan sisi E(mWDn v ) = fAxj i ; Ayj i ; Azj i ; Apj i ; xj i yj i ; xj i zj i ; xj i pj i ; yj i zj i ; yj i pj i ; pki zk i ; 1 · i · n ; 1 · k · mg. Metode penelitian yang digunakan adalah Metode deduktif aksiomatik, yaitu dengan menurunkan beberapa aksioma dan teorema yang sudah ada. langkah awal vii yang dilakukan adalah menentukan atau menghitung nilai d (nilai beda) pada amalgamasi graf kipas. Selanjutnya merumuskan pola pelabelan menggunakan metode pendeteksian pola (pattern recognition) yaitu menentukan perumusan pelabelan super (a; d)-H antimagic total dekomposisi. Batas atas pada penelitian ini adalah d · 120 dengan menggunakan Lemma 4.11 yaitu: Jika graf G adalah super (a; d)¡H antimagic total covering maka d · (pG ¡ pH)pH + (qG ¡ qH)qH s ¡ 1 untuk s = jHij, pG = jV j, qG = jEj, pH = jV (H)j, qH = jE(H)j Sehingga di peroleh teorema-teorema baru sebagai berikut: 1. Teorema 4.1.1 Ada super (98n + 22; 0)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 2. Teorema 4.1.2 Ada super (97n + 23; 2)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 3. Teorema 4.1.3 Ada super (96n + 24; 4)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 4. Teorema 4.1.4 Ada super (95n + 25; 6)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 5. Teorema 4.1.5 Ada super (94n + 26; 8)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 6. Teorema 4.1.6 Ada super (93n+27; 10)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 7. Teorema 4.1.7 Ada super (92n+28; 12)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 8. Teorema 4.1.8 Ada super (91n+29; 14)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 9. Teorema 4.1.9 Ada super (89n+31; 18)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; viii 10. Teorema 4.1.10 Ada super (88n+32; 20)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 11. Teorema 4.1.11 Ada super (86n+34; 24)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 12. Teorema 4.1.12 Ada super (84n+36; 28)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 13. Teorema 4.1.13 Ada super (73n+47; 50)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 14. Teorema 4.1.14 Ada super (72n+48; 52)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 15. Teorema 4.1.15 Ada super (71n+49; 54)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 16. Teorema 4.1.16 Ada super (69n+65; 58)-WD5 antimagic total dekomposisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 17. Teorema 4.1.17 Ada super (48n + 72; 100)-WD5 antimagic total dekom- posisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 18. Teorema 4.1.18 Ada super (47n + 73; 102)-WD5 antimagic total dekom- posisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 19. Teorema 4.1.19 Ada super (46n + 74; 104)-WD5 antimagic total dekom- posisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 20. Teorema 4.1.20 Ada super (44n + 76; 108)-WD5 antimagic total dekom- posisi pada graf windmill WDn 5 untuk n ¸ 2; 21. Teorema 4.2.1 Ada gabungan saling lepas graf windmill WDn 5 memiliki super ( 196mn+29m+15 2 ; 0)- WD5 antimagic total dekomposisi untuk n ¸ 2 dan m ¸ 3 dimana m ganjil ; 22. Teorema 4.2.2 Ada gabungan saling lepas graf windmill WDn 5 memiliki super ( 186mn+29m+25 2 ; 10) - WD5 antimagic total dekomposisi untuk n ¸ 2 dan m ¸ 3 dimana m ganjil ; ix 23. Teorema 4.2.3 Ada gabungan saling lepas graf windmill WDn 5 memiliki super ( 176mn+29m+35 2 ; 20)- WD5 antimagic total dekomposisi untuk n ¸ 2 dan m ¸ 3 dimana m ganjil ; 24. Teorema 4.2.4 Ada gabungan saling lepas graf windmill WDn 5 memiliki super ( 146mn+29m+65 2 ; 50) - WD5 antimagic total dekomposisi untuk n ¸ 2 dan m ¸ 3 dimana m ganjil ; 25. Teorema 4.2.5 Ada gabungan saling lepas graf windmill WDn 5 memiliki super ( 96mn+151m+115 2 ; 100) - WD5 antimagic total dekomposisi untuk n ¸ 2 dan m ¸ 3 dimana m ganjil ; Berdasarkan hasil penelitian mengenai pelabelan super (a; d)-H-antimagic total dekomposisi pada graf windmill (WDn 5 ), terdapat beberapa hal dapat diteliti kembali, yaitu pada pelabelan super (a; d)-H-antimagic total total dekomposisi pada graf windmill (WDn 5 ), dengan n ¸ 2 kecuali d ² f0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 24; 28; 50; 52; 54; 58; 100; 102; 104g, pelabelan super (a; d)-H antimagic total covering pada gabungan saling lepas, dengan n ¸ 2 dan m ¸ 3 untuk d < 122 ke- cuali d ² f0; 10; 20; 50; 100g, serta pelabelan super (a; d)-H-antimagic total dekom- posisi pada gabungan saling lepas graf windmill (mWDn 5 ) dengan n ¸ 2, m ¸ 2 dan m genap untuk d < 122. x