SOLUSI PERSAMAAN LAPLACE MENGGUNAKAN METODE CRANK-NICHOLSON

Abstract

Solusi persamaan Laplace menggunakan metode Crank-Nicholson ini diawali dengan proses diskritisasi persamaan Laplace kedalam skema Crank-Nicholson. Tahap selanjutnya yaitu membagi lebar grid domain x dan domain y. Pembagian lebar grid domain x dan domain y ini tidak harus sama. Setelah tahap tersebut dilakukan, selanjutnya adalah mensubtitusikan nilai awal dan syarat batas dari persamaan Laplace tersebut. Diskritisasi model, nilai awal dan syarat batas ini akan menghasilkan bentuk matriks dimana adalah matriks yang berisi koefisien dan , matriks adalah matriks yang berisi nilai awal dan nilai batas sedangkan matriks adalah matriks yang berisi titik-titik solusi dari persamaan Laplace. Bentuk matriks tersebut dapat diselesaikan dengan metode invers. Jika matriks tersebut telah dapat diselesaikan, maka tahap selanjutnya adalah simulasi dengan mengubah nilai pembagi lebar grid x dan y. Adapun pembagi lebar grid yang digunakan untuk simulai ini adalah 40,50 dan 60. Pada setiap simulasi yang dilakukan akan dapat diketahui grafik solusi analitik, grafik solusi numerik dan galatnya. Hasil dari tahap simulasi selanjutnya dianalisis untuk mengetahui pengaruh lebar grid terhadap solusi persamaan Laplace. Hasil simulasi terbaik diperoleh dari simulasi dengan pembagi lebar grid pada domain x( ) dan pembagi lebar grid domain y( ) sama, yaitu sebesar 60. Hasil simulasi tersebut adalah grafik yang smooth dan galat sebesar . Lebar grid yang semakin kecil dan sama pada domain x dan domain y akan menyebabkan grafik dari persamaan Laplace semakin smooth dan nilai galat yang semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa solusi numeriknya semakin mendekati solusi analitiknya.