NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF BUKU SEGITIGA

Abstract

Teori graf merupakan salah satu contoh model matematika yang sudah lama dikaji dan memiliki banyak peran dalam kehidupan. Teori graf telah dapat memberikan kerangka dasar bagi banyak persoalan yang berhubungan dengan struktur dan hubungan antara suatu obyek diskrit dalam bentuk apapun. Salah satu topik yang menarik dalam teori graf yaitu pelabelan graf, salah satu jenis pelabelan graf adalah pelabelan total sisi irregular pada graf buku segitiga. Graf buku segitiga dinotasikan dengan Bt adalah suatu graf yang merupakan famili dari graf tripartit lengkap K dengan p merupakan titik sebanyak n. Graf buku segitiga Bt n 1;1;p merupakan graf yang terdiri dari sejumlah n buah segitiga (n ¸ 2) dengan setiap segitiga memiliki 2 simpul yang sama. Penelitian ini akan meneliti pelabelan graf buku segitiga tunggal, gabungan graf buku segitiga isomor¯s dan nonisomor¯s serta uni¯kasi graf buku segitiga isomor¯s. Permasalan pada pelabelan ini, yaitu bagaimana melabeli graf buku segitiga sedemikian hingga nilai bilangan bulat positif terbesar yang dijadikan label adalah seminimum mungkin, sedangkan bobot setiap sisinya berbeda. Bilangan bulat positif terbesar yang minimum tersebut dinamakan dengan nilai ketakteraturan total sisi (total edge irregularity strength) dari graf G yang dinotasikan dengan tes(G). Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui nilai ketakteraturan total sisi (tes) dari graf buku segitiga tunggal, gabungan graf buku segitiga isomor¯s dan non-isomor¯s serta uni¯kasi graf buku segitiga. Penelitian ini diawali dengan menentukan nilai batas bawah dari tes graf buku segitiga tunggal dan gabungan serta uni¯kasinya dengan menerapkan teorema Ba·ca, Jedro · l, Miller dan Ryan (2002) yakni l jEj+2 3 m · tes(G) · jEj. Selan- jutnya menentukan batas atas dari tes graf buku segitiga tunggal dan gabungannya dengan mencari formulasi dari pelabelan total sisi irregularnya sedemikian hingga bobot setiap sisi berbeda. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deduksi aksiomatik, yaitu dengan menurunkan teorema yang telah ada, kemudian diterapkan dalam pelabelan total sisi irregular dari nilai ketakteraturan total sisi (tes) pada graf buku segitiga tunggal dan gabungannya. Sesuai dengan tujuan, hasil dalam penelitian ini ditemukan beberapa teorema baru mengenai nilai ketakteraturan total sisi (tes) dari pelabelan total sisi irregular pada graf buku segitiga tunggal dan gabungan graf buku segitiga yaitu: ² Teorema 4.1.1 : Nilai ketakteraturan total sisi dari graf Buku Segitiga tunggal adalah tes(Bt n ) = § 2n+3 3 ¨ , untuk n ¸ 2. ² Teorema 4.1.2 : Nilai ketakteraturan total sisi dari gabungan graf Buku Segitiga isomor¯s adalah tes(sBt n ) = l s(2n+1)+2 3 m , untuk s ¸ 2, dan n ¸ 2. ² Teorema 4.1.3 : Nilai ketakteraturan total sisi dari uni¯kasi graf Buku Segitiga isomor¯s adalah tes µ S ¢ s Bt n ¶ = l s(2n+1)+2 3 m , untuk s ¸ 2, dan n ¸ 2. ² Teorema 4.1.4 : Nilai ketakteraturan total sisi dari gabungan graf Buku Segitiga non-isomor¯s adalah tes(Bt n [ Bt ) ¡ 1, untuk n ´ 1 mod 3 dan 2 · m < n.