EFEKTIVITAS METODE RUNGE-KUTTA ORDE DELAPAN UNTUK MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT MALARIA

Abstract

Penyakit malaria masih menjadi masalah kesehatan masyarakat di seluruh dunia. Setiap tiga puluh detik, seorang anak meninggal akibat malaria di suatu tempat. Sedangkan dalam setiap tahunnya, hampir sepuluh persen dari populasi global akan menderita malaria (Malaria Foundation International, 2012). Model matematika transmisi penyakit malaria yang dikembangkan oleh Nakul Chitnis, J. M. Chusing, dan J. M. Hyman, berbentuk sistem Persamaan Diferensial Biasa (PDB) non linier orde satu sehingga untuk menyelesaikannya dibutuhkan metode numerik. Metode numerik yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Runge-Kutta orde delapan. Metode tersebut memiliki tingkat ketelitian yang cukup baik. Di samping itu, pemilihan orde delapan dikarenakan penelitian ten- tang metode Runge-Kutta baru sampai pada orde tujuh dan orde delapan belum ada. Dalam penelitian ini, penulis melakukan analisis tingkat efektivitas dan efisiensi metode Runge-Kutta orde delapan dibandingkan dengan metode Adams Bashforth-Moulton orde sembilan terhadap penyelesaian sistem PDB tersebut de- ngan cara mengumpulkan data. Metode pengumpulan data yang digunakan yaitu metode dokumentasi dan metode eksperimen. Metode dokumentasi dalam pene- litian ini yaitu menggunakan jurnal yang ditulis oleh Chitnis et al. tentang model matematika transmisi penyakit malaria dan nilai-nilai parameternya. Sedang- kan metode eksperimen yaitu metode pengumpulan data yang dilakukan dengan melakukan pencatatan dan pengamatan selama eksekusi pemrograman di MAT- LAB. Hal yang diamati yaitu jumlah iterasi, nilai error, waktu tempuh, dan grafik. Berdasarkan hasil analisis, diperoleh sifat dan formula metode Runge-Kutta orde delapan. Terdapat dua formula metode Runge-Kutta orde delapan yaitu RK8B1 dan RK8B2. Kedua formula memiliki nilai tetapan c yang sama (c1 = 0, c2= 1 7, c3 = 2 = 3 = 4 7, c4 7, c5 7, c6

= 5 = 6 = 1). Hal yang 7, c7 7,dan c8 membedakan kedua formula yaitu RK8B1 memiliki koefisien matriks A penuh dan RK8B2 memiliki koefisien matriks A minimum. Hasil uji konvergensi secara teoritis menunjukkan bahwa formula metode tersebut merupakan metode yang konvergen. Pola algoritmanya dapat disusun sehingga dapat dibuat format pro- gramming dalam bahasa MATLAB. Program MATLAB yang digunakan dalam penelitian ini adalah MATLAB R2011b dengan processor Intel Xeon. Format pro- gramming yang telah disusun kemudian dieksekusi. Hasil eksekusi yaitu grafik, error, iterasi, dan waktu tempuh. Grafik konvergensi yang dihasilkan menunjuk- kan bahwa metode itu merupakan metode yang konvergen secara programming karena error yang dihasilkan semakin menurun untuk setiap iterasi. Sedangkan grafik lainnya menunjukkan hubungan antara populasi manusia yang rentan ma- laria (Sh), populasi manusia yang terkena malaria (Eh), populasi manusia yang terinfeksi malaria (Ih), populasi manusia yang sembuh dari malaria (Rh), populasi nyamuk yang rentan malaria (Sv), populasi nyamuk yang terkena malaria (Ev), dan populasi nyamuk yang terinfeksi malaria (Iv) terhadap waktu t dalam satuan hari. Data berupa error didapatkan dengan menetapkan iterasi, ukuran langkah, parameter dan nilai awal. Semakin kecil error yang dihasilkan maka semakin efektif suatu metode. Iterasi yang digunakan dalam penelitian ini yaitu 100, 735, 1.000,1.650, 5.000, 10.000, dan 100.000. Pemilihan iterasi tersebut dikarenakan sudah cukup mewakili untuk mengetahui tingkat akurasi metode yang digunakan karena memiliki rentang yang cukup jauh. Hasil eksekusi menunjukkan semakin besar iterasi maka error yang terjadi semakin kecil. Pada iterasi 100, metode Runge-Kutta orde delapan memiliki error yang lebih besar dibandingkan metode Adams Bashforth-Moulton orde sembilan. Sedangkan pada iterasi 735 sampai de- ngan iterasi 1.000, metode Runge-Kutta orde delapan memiliki error yang lebih kecil. Pada iterasi 1.650, 5.000, 10.000, dan 100.000, metode Runge-Kutta orde de- lapan kembali memiliki error yang lebih besar. Dengan demikian metode Runge- Kutta orde delapan tidak lebih efektif bila dibandingkan dengan metode Adams Bashforth-Moulton orde sembilan dalam menyelesaikan model transmisi penyakit

viii

malaria. Hal itu dimungkinkan karena metode Adams Bashforth-Moulton memiliki orde yang setingkat lebih tinggi. Untuk mengetahui efisiensi suatu metode maka dilakukan penetapan batas toleransi. Toleransi yang digunakan dalam penelitian ini adalah 10−3, 10−4 dan 10−5. Dari hasil eksekusi didapat bahwa semakin kecil batas toleransi maka se- makin besar iterasi yang dilakukan dan semakin lama waktu tempuh untuk menye- lesaikan permasalahan. Untuk setiap batas toleransi yang ditentukan tersebut, metode Runge-Kutta orde delapan selalu memiliki waktu lebih cepat. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa metode Runge-Kutta orde delapan (RK8B2) lebih efisien bila dibandingkan dengan metode Adams Bashforth-Moulton orde sembilan dalam menyelesaikan model transmisi penyakit malaria. Hal itu dimung- kinkan karena metode Runge-Kutta orde delapan,RK8B2, memiliki koefisien ma- triks A yang minimum sehingga jumlah operasinya (flops) tidak sebanyak metode Adams Bashforth-Moulton orde sembilan. Semakin sedikit jumlah operasi suatu metode maka semakin cepat metode itu dalam menyelesaikan masalah. Penelitian ini tidak menganalisis jumlah flops untuk kedua metode dikarenakan MATLAB R2011b tidak menyediakan fungsi itu.