Pelabelan Total Super (a,d)-Sisi Antimagic Pada Graf UFO

Abstract

Graf adalah salah salah kajian dalam matematika diskrit. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek diskrit tersebut. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Terdapat berbagai jenis tipe pelabelan dalam graf, salah satunya adalah pelabelan total super(a; d)sisi antimagic (SEATL), dimana a bobot sisi terkecil dan d nilai beda. Salah satu jenis graf yang belum diketahui pelabelan super (a; d) antimagic adalah graf UFO. Graf UFO yang dinotasikan dengan U adalah sebuah graf yang memiliki bentuk menarik yang merupakan pengembangan dari graf buku segitiga, dimana pada ketiga titik terakhir ditambahkan sisi (edge) dan titik (vertex) sebanyak n. Gabungan diskonektif graf UFO merupakan gabungan saling lepas dari s duplikat graf UFO dan dinotasikan dengan sU . Graf UFO memiliki himpunan vertex, V = fu; f; o; x m;n m;n ; ; 1 · i · m; 1 · j · n; m; n²Ng dan himpunan edge, E = ffx i i ; u j ; o ; uf; fo; uo; ox ;oo ; 1 · i · m; 1 · j · n; m; n²Ng. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif aksiomatik yaitu dengan menurunkan lema yang telah ada tentang nilai batas d dan lema untuk pelabelan graf saat d = 1, kemudian diterapkan j dalam pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada graf U dan metode pendeteksian pola yaitu untuk menentukan pola umum pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada graf UFO. Hasil penelitian ini berupa lema dan teorema baru mengenai pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada Graf U dan sU m;n . Teorema dan lema yang dihasilkan adalah sebagai berikut: m;n 1. Teorema 4.2.1 Ada pelabelan total super (3m + 6n + 9; 0)-sisi antimagic vii j ; x i mj ; x m x dan sU mj ; uu m;n j m;n untuk m ¸ 1 dan n ¸ 1 dan (m + 3n + 7; 2)-sisi antimagic pada graf UFO U 2. Teorema 4.2.2 Ada pelabelan total super ( 4m+9n+16 2 m;n ; 1)-sisi antimagic pada graf UFO U untuk m,n 2 genap atau m 2 ganjil ^ n 2 genap,m ¸ 1, n ¸ 1 m;n 3. Teorema 4.4.1 Ada pelabelan total super ( 6sm+12sn+15s+3 2 ; 0)-sisi antimagic dan ( 9s+2sm+6sn+5 2 ; 2)-sisi antimagic pada gabungan graf UFO sU jika m ¸ 1, n ¸ 1 , s ¸ 3 dan s ganjil 4. Teorema 4.4.2 Ada pelabelan total super ( 4sm+9sn+12s+4 2 ; 1)-sisi antimagic pada gabungan graf UFO sU untuk m,n 2 genap atau m 2 ganjil ^ n 2 genap,m ¸ 1, n ¸ 1, s ganjil dan s ¸ 3 m;n 5. Lema 4.2.1 Ada pelabelan titik (3; 1)-sisi antimagic pada graf UFO U jika m ¸ 1 dan n ¸ 1 6. Lema 4.4.1 Ada pelabelan titik ( 3s+3 2 ; 1)-sisi antimagic pada gabungan graf UFO (sU m;n ) jika m ¸ 1, n ¸ 1, s ganjil dan s ¸ 3 Dari kajian diatas ada beberapa batasan s, m dan n yang belum ditemukan sehingga dalam penelitian ini diajukan open problem. 1. Masalah Terbuka 4.5.1 Pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada gabungan graf UFO sU , dengan m ¸ 1; n ¸ 1; 1 · k · s; s genap untuk d = 0 dan d = 2. m;n 2. Masalah Terbuka 4.5.2 Pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada graf UFO sU , untuk d = 1 dengan m dan n ganjil serta m genap dan n ganjil (m ¸ 1,n ¸ 1) baik pada graf UFO tunggal maupun gabungannya.