MODIFIKASI METODE NEWTON TIGA LANGKAH DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER (SPNL)

Abstract

Perkembangan metode numerik dalam bidang sains dan teknik masih terus berjalan seiring dengan perkembangan zaman. Para ahli matematika melakukan penelitian dan memperbarui metode-metode yang sudah ada untuk diperbaiki maupun dikembangkan. Salah satu permasalahan metode numerik yaitu pencarian solusi atau akar dari persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier. Sistem persamaan nonlinier pada umumnya sulit diselesaikan secara analitik, akan tetapi memungkinkan untuk diselesaikan menggunakan metode numerik. Metode numerik merupakan sebuah teknik yang digunakan untuk merumuskan permasalahan matematika agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika. Adapun metode numerik yang sering digunakan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan nonlinier yaitu metode Newton. Pada penelitian ini, dilakukan modifikasi metode Newton 3 langkah yang telah ditemukan oleh Cordero (2012) dengan mengganti langkah ketiga menggunakan skema integrasi orde tinggi. Permasalahan yang digunakan pada penelitian ini menggunakan beberapa persamaan dari berbagai rujukan. Terdapat 5 sistem persamaan nonlinier 3 varibel. Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk mengetahui bentuk modifikasi metode Newton 3 langkah, mengetahui orde konvergensinya, dan mengetahui hasil solusi modifikasi metode Newton 3 langkah jika dibandingkan dengan metode lain. Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh solusi yang mendekati dan sama dengan solusi metode rujukan yaitu metode Newton-Raphson, KH, dan viii Modified Newton . Selain itu, pada penelitian ini menghasilkan 8 skema baru. Skema baru yang diberi nama algoritma 1 sampai 8 ini memiliki orde konvergensi yang berbeda. Algoritma 1 sampai 4 memiliki orde konvergensi yaitu berorde 3. Setelah dilakukan peningkatan orde konvergenitas dengan menghilangkan suku 𝐶2𝐸𝑛 pada ekspansi deret taylor setiap 𝐹′ 𝑤𝑟 langkah ke-3 algoritma 1 sampai 4, didapatkan 4 algoritma baru yaitu algoritma 5 sampai 8 yang memiliki orde konvergenitas 4. Dari 8 algoritma baru tersebut, ada satu algoritma yang lebih unggul dibandingkan dengan 7 algoritma lain yaitu algoritma 6 yang merupakan modifikasi algoritma 2. Algoritma 6 tersebut mempunyai iterasi yang lebih sedikit daripada 7 algoritma yang lain.