ANALISA HIMPUNAN DOMINASI LOKASI PADA GRAF KHUSUS DAN OPERASI AMALGAMASINYA

Abstract

Salah satu cabang ilmu matematika yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan yang muncul akibat pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi adalah teori graf. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh L.Euler, matematikawan asal Swiss pada tahun 1735. Teori graf banyak memberi masukan kepada ilmu baru salah satunya yaitu himpunan dominasi lokal. Himpunan dominasi lokasi atau dalam istilah asing disebut locating dominating set penerapannya dimulai pada tahun 1980 oleh Slater dengan membuat sebuah kode lokasi perlindungan untuk beberapa fasilitas dengan menggunakan jaringan detektor. suatu himpunan titik D pada graf G = (V;E) dikatakan himpunan dominasi lokasi atau locating dominating set jika untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan v pada V (G) ¡ D memenuhi syarat ; 6= N(u) \ D 6= N(v) \ D dimana N(u) adalah himpunan titik tetangga dari u. Kardinalitas minimum dari himpunan dominasi lokasi disebut locating domination number yang disimbolkan dengan °L(G) . Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif aksiomatik. Data dalam penelitian ini menggunakan data sekunder berupa graf-graf khusus dan operasi amalgamasinya. Graf-graf khusus yang digunakan antara lain graf prisma Pm;n, graf antiprism An, graf webWbn, graf tringular ladder TLn dan graf bintang Sn dan operasi yang digunakan yaitu amalgamasi. Pada penelitian ini dihasilkan beberapa teorema sebagai berikut: 1. Teorema 4.1 Misal G adalah graf khusus berupa graf prisma P(n;2) untuk n ¸ 3, maka nilai himpunan dominasi lokasi dari G adalah °L (P(n;2)) = n. 2. Teorema 4.2 Misal G adalah graf hasil operasi amalgamasi dari graf prisma P(n;2) untuk n ¸ 3 dan r ¸ 2, maka °L (Amal(P(n;2); v; r)) = 2r+1. 3. Teorema 4.3 Misal G adalah graf khusus berupa graf antiprisma An untuk n ¸ 3, maka nilai himpunan dominasi lokasi dari G adalah °L (An) = n¡1. 4. Teorema 4.4 Misal G adalah graf hasil operasi amalgamasi dari graf antiprisma An untuk n ¸ 3 dan r ¸ 2, maka °L (Amal(An; v; r)) = nr ¡ r. 5. Teorema 4.5 Misal G adalah graf khusus berupa graf web Wbn untuk n ¸ 3, maka nilai himpunan dominasi lokasi dari G adalah °L (Wbn) = 3n¡1 2 . 6. Teorema 4.6 Misal G adalah graf hasil operasi amalgamasi dari graf web Wbn untuk n ¸ 3 dan r ¸ 2, maka °L (Amal(Wbn; v; r)) = 3nr¡3r+2 2 . 7. Teorema 4.7 Misal G adalah graf khusus berupa graf tringular ladder TLn untuk n ¸ 3, maka nilai himpunan dominasi lokasi dari G adalah °L (TLn) = n. 8. Teorema 4.8 Misal G adalah graf hasil operasi amalgamasi dari graf tringular ladder TLn untuk n ¸ 3 dan r ¸ 2, maka °L (Amal(TLn; v; r)) = nr ¡ r + 1. 9. Teorema 4.9 Misal G adalah graf khusus berupa graf star Sn untuk n ¸ 3, maka nilai himpunan dominasi lokasi dari G adalah °L (Sn) = n. 10. Teorema 4.10 Misal G adalah graf hasil operasi amalgamasi dari graf star Sn untuk n ¸ 3 dan r ¸ 2, maka °L (Amal(Sn; v; r)) = nr ¡ r.