EFEKTIVITAS METODE MILNE ORDE LIMA DALAM MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA VAKSINASI TUBERKULOSIS TIPE VEIT

Abstract

Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan permasalahan ma- tematika dengan cara mengaproksimasi atau menghampiri solusi dengan meng- gunakan operasi biasa. Metode numerik juga dapat digunakan untuk menyele- saikan persamaan di®erensial, salahsatu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan di®erensial adalah metode Milne. Metode Milne yang sering digu- nakan secara umum adalah metode Milne orde empat. Selama ini belum ada karya tulis atau buku tentang metode Milne orde lebih dari empat. Oleh karena itu, penulis melakukan penelitian tentang efektivitas metode Milne orde lima, sebagai pembanding digunakan metode Runge-Kutta orde lima. Persamaan dif- ferensial biasa yang digunakan adalah model matematika vaksinasi tuberkulosis yang dimodelkan oleh Tau¯k dkk. (2015) tipe VEIT. Metode Milne orde lima masih belum dikembangkan, sehingga pengemba- ngan metode Milne orde lima perlu dilakukan dalam penelitian ini. Berikut hasil penurunan predictor dan corrector metode Milne orde lima. predictor : y¤ r+1 = yr¡3 + 2h 45 (7fr¡4 ¡ 28fr¡3 + 102fr¡2 ¡ 58fr¡1 + 67fr) corrector : yr+1 = yr¡1 + h 90 (¡fr¡3 + 4fr¡2 + 24fr¡1 + 124fr + 29fr+1) dengan kesalahan pemenggalan lokalnya yaitu: predictor : Ir = Yr+1 ¡ y¤ r+1 ¼ 28h(4+1) 90 y(6)(t) corrector : Ir = Y ¤ r+1 ¡ yr+1 ¼ ¡h(4+1) 90 y(6)(t) Uji konvergensi metode Milne orde lima secara teoritis merupakan metode yang konvergaen karena memenuhi kenk · h5 720LM6(enhL ¡ 1) limh!0 kenk · limh!0 h5 720LM6(enhL ¡ 1) limh!0 kenk ·$ limh!0 kenk = 0 dimana L adalah konstanta Lipschitz. Selain secara teoritis, uji konvergensi metode Milne orde lima juga dilakukan dengan simulasi menggunakan software Matlab. Hasil simulasi tersebut menun- jukkan bahwa variabel E, I, dan T untuk h yang lebih kecil selalu menghasilkan galat relatif lebih kecil dari galat relatif yang dihasilkan oleh simulasi pada h yang lebih besar. Sedangkan pada variabel V galat yang dihasilkan pada simulasi un- tuk h yang lebih kecil tidak selalu menghasilkan galat relatif lebih kecil dari galat relatif yang dihasilkan oleh simulasi pada h yang lebih besar. Efektivitas metode Milne didapatkan dengan membandingkan galat hasil simulasi Milne dengan galat hasil simulasi Runge-Kutta. Hasil simulasi menunjuk- kan bahwa galat relatif Milne lebih kecil dari galat relatif Runge-Kutta. Artinya solusi hampiran yang dihasilkan Milne lebih baik dari Runge-Kutta. Sehingga dapat dikatakan bahwa metode Milne lebih efektif dibandingkan dengan Runge- Kutta dalam menyelesaikan model matematika vaksinasi tuberkulosis.