Solusi Numerik Model Ekspansi Rubber Packer Menggunakan Metode Shooting

Abstract

Kelakuan rubber packer ketika mengembang setelah adanya tekanan fluida dimodelkan menjadi dua jenis persamaan yang terdiri atas persamaan Sliding packer dan Anchored packer. Persamaan ini memiliki kondisi batas di ujung kiri 𝑋 = 0 dan ujung kanan 𝑋 = 1, memiliki nilai fungsi dan turunannya masingmasing 𝑊(0) = 𝑊(1) = 𝑊′ (0) = 𝑊′ (1) = 0. Model ekspansi Rubber Packer berbentuk persamaan diferensial biasa orde empat linier nonhomogen, dengan kondisi batas Campuran (Dirichlet dan Neumann). Persamaan ini dapat diselesaikan secara numerik untuk masalah nilai batas, yaitu metode Shooting. Metode Shooting digunakan sebagai salah satu alternatif untuk menyelesaikan masalah nilai batas, karena dianggap lebih kuat, konsisten, konvergen, jika dibandingkan metode lain. Penyelesaian model ekspansi Rubber Packer dilakukan dengan mengubah masalah nilai batas menjadi masalah nilai awal dan mereduksi bentuk persamaan diferensial biasa orde empat ke bentuk sistem persamaan diferensial orde satu. Persamaan model ini membutuhkan empat nilai awal, namun hanya dua nilai awal 𝑊(0) = 𝑊′ (0) = 0 diketahui, sehingga terdapat dua nilai awal lain yang dibutuhkan yaitu nilai 𝑊′′(0) dan 𝑊′′′(0). Nilai awal yang belum diketahui ini akan ditentukan, kemudian diperbarui dengan menggunakan metode NewtonRaphson. Penyelesaian masalah nilai awal dapat menggunakan metode numerik seperti metode Runge-Kutta orde empat, sehingga akan diperoleh solusinya. Solusi 𝑊(𝑋𝑖 ) untuk seriap 𝑋𝑖 dapat ditemukan, termasuk solusi pada batas, yaitu tebakan untuk 𝑊3 (0) = 𝑢1 dan 𝑊4 (0) = 𝑢2. Jika nilai tebakan telah memenuhi 𝑊1 (1) = 𝑢1 dan 𝑊2 (1) = 𝑢2 atau mendekati solusi analitiknya, maka masalah nilai batas sudah terselesaikan. Tetapi, secara umum tebakan nilai 𝑢 tidak secara langsung 𝑢 yang lain, dan masalah nilai awal dengan tebakan baru perlu diselesaikan kembali. Proses tersebut perlu diulangi hingga memperoleh 𝑊3 (0) = 𝑢1 dan 𝑊4 (0) = 𝑢2 yang m