Modifikasi Aturan Chaos Game pada Determinan Matriks 2 × 2

Abstract

Fraktal merupakan suatu bentuk geometris kompleks yang memiliki fractal dimension atau rasio kompleksitas self-similarity pada pola fraktal. Salah satu contoh objek fraktal yaitu segitiga Sierpinski. Segitiga Sierpinski merupakan bentuk fraktal yang dapat dibangkitkan dengan beberapa cara seperti: removing, shrinking and duplication menggunakan iterasi fungsi, maupun chaos game. Chaos game merupakan metode untuk membangkitkan fraktal dengan menggunakan suatu permainan titik dengan aturan tertentu dan dilakukan secara iteratif atau berulang. Penelitian ini akan dilakukan dengan menggunakan modifikasi aturan chaos game pada determinan matriks 2 × 2. Chaos game akan dilakukan dengan menggunakan matriks transformasi yang kemudian divariasikan nilai determinannya. Langkah-langkah yang akan digunakan untuk membangkitkan chaos game pada segitiga yaitu pertama dengan menentukan tiga titik verteks atau titik tumpu yang membentuk poligon segitiga. Kedua yaitu menentukan titik awal yang dipilih secara random pada segitiga. Ketiga menentukan titik tumpu secara random yang akan dihubungkan dengan titik awal. Keempat menghitung titik baru dengan menggunakan matriks transformasi 2 × 2 pada chaos game. Kelima menggunakan titik baru pada langkah keempat sebagai titik awal di iterasi berikutnya. Keenam mengulang langkah ketiga hingga langkah kelima sehingga menghasilkan titik-titik baru sesuai iterasi yang diinginkan. Matriks transformasi yang digunakan pada modifikasi aturan chaos game akan dibangkitkan dari nilai determinan matriks yang diberikan. Menggunakan rumus umum determinan, tiga elemen pada entry matriks akan dipilih menggunakan rumus random diantara −1 dan 1 kemudian matriks yang dihasilkan akan digunakan sebagai matriks transformasi pada chaos game. Penelitian ini dilakukan dengan membatasi nilai determinan matriks yaitu pada rentang interval di antara −1 dan 1 untuk menghindari nilai matriks transformasi yang terlalu besar. Simulasi kemudian akan dilakukan pada Matlab 2015b dengan 4 input yaitu: input tiga titik tumpu segitiga, input titik awal, input nilai determinan, serta input jumlah iterasi. Hasil visual pada determinan matriks bernilai positif merupakan fraktal dengan syarat nilai matriks diagonalnya tidak sama-sama bernilai negatif. Sedangkan pada simulasi dengan nilai determinan matriks 0, didapatkan hasil visual yaitu fraktal dengan bentuk memanjang ke arah tertentu. Pada simulasi dengan nilai determinan negatif, fraktal akan terbentuk jika nilai determinannya mendekati 0.