Kekuatan Ketidakteraturan Modular pada Hasil Operasi Korona Graf Roda dengan Graf Lintasan, dan Graf Buku dengan Graf Lintasan

Abstract

Topik dalam teori graf yang berkembang dengan pesat beberapa tahun terakhir ini adalah pelabelan. Pelabelan merupakan pemberian label pada setiap elemen graf dengan syarat tertentu. Pelabelan tak teratur sisi didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang memasangkan setiap elemen himpunan sisi suatu graf ke {1,2, …,𝑘}, dengan syarat bobot setiap titik harus berbeda. Pelabelan tak teratur modular pada graf 𝐺 dengan orde 𝑛 merupakan pemberian label pada himpunan sisi dengan bilangan bulat positif 1,2, … , 𝑘, dengan syarat bobot setiap titiknya berbeda dalam modulo 𝑛. Bobot yang dicari merupakan bobot titik dengan menjumlahkan label dari setiap sisi yang bertetangga dalam modulo 𝑛. Operasi graf merupakan suatu cara yang digunakan untuk mendapatkan graf baru dengan mengoperasikan dua atau lebih graf. Operasi yang digunakan pada penelitian ini adalah operasi korona. Operasi korona pada graf dinotasikan dengan � � ⨀ 𝐻, didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah duplikat dari graf 𝐺 dan |𝑉(𝐺)| duplikat dari graf 𝐻, yaitu 𝐻𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3. . , |𝑉(𝐺)| kemudian memasangkan setiap simpul ke-𝑖 dari 𝐺 ke setiap simpul di 𝐻𝑖. Pada penelitian ini graf yang digunakan adalah hasil operasi korona dari graf roda dengan graf lintasan dan graf buku dengan graf lintasan. Pada penelitian ini akan dicari nilai kekuatan ketidakteraturan dan kekuatan ketidaktaraturan modular pada graf 𝑊𝑛⨀𝑃1, 𝑊𝑛⨀𝑃2, 𝑊𝑛⨀𝑃3, dan 𝐵𝑛⨀𝑃1 untuk � � ≥3. Sehingga, didapatkan hasil dari beberapa nilai kekuatan ketidakteraturan dari graf tersebut. Hasil yang diperoleh pada graf 𝑊𝑛 ⊙ 𝑃1 dengan 𝑛 ≥ 3 yaitu � �(𝑊𝑛 ⊙𝑃1) = 𝑛+1 untuk 𝑛 genap, 𝑠(𝑊𝑛⊙𝑃1) =𝑚𝑠(𝑊𝑛⊙𝑃1)=𝑛+1 untuk 𝑛 ganjil, dan 𝑚𝑠(𝑊𝑛 ⊙𝑃1 ) = ∞ untuk 𝑛 genap. Pada graf 𝑊𝑛 ⊙𝑃2 didapatkan hasil 𝑠(𝑊𝑛 ⊙ 𝑃2 ) = 𝑛 +2 untuk 𝑛 ≥ 3, 𝑚𝑠(𝑊𝑛 ⊙𝑃2 ) = ∞ untuk � � ≡1 mod 4,𝑛 ≥3 dan 𝑚𝑠(𝑊𝑛⊙𝑃2 )=𝑛+2 untuk 3≤𝑛≤11,𝑛≢ 1 mod 4. Selanjutnya hasil untuk graf 𝑊𝑛 ⊙ 𝑃3 yaitu 𝑠(𝑊𝑛 ⊙ 𝑃3 ) = 𝑚𝑠(𝑊𝑛 ⊙ 𝑃3) = 𝑛+2 untuk 𝑛 ≥ 3, dan graf 𝐵𝑛 ⊙𝑃1 yaitu 𝑠(𝐵𝑛 ⊙𝑃1) = 𝑚𝑠(𝐵𝑛 ⊙𝑃1) = 2𝑛 +2 untuk 𝑛 ≥ 3. Sedangkan jika dilihat dari hasil pada graf 𝑊𝑛 ⊙ 𝑃2, nilai kekuatan ketidakateraturannya ditemukan sesuai batas bawah dan nilai kekuatan ketidakteraturan modular belum ditemukan untuk 𝑛 > 11,𝑛 ≢ 1 mod 4, hal ini dikarenakan penelitian pada graf 𝑊𝑛 ⊙ 𝑃2 hanya dibatasi untuk 𝑛 ≡ 1 mod 4, 𝑛 ≥ 3 atau 3 ≤ 𝑛 ≤11,𝑛 ≢ 1 mod 4.