Analisa Super (a, d)-H-Antimagic Total Covering Orde Dua pada Graf Hasil Operasi Amalgamasi

Abstract

Teori graf dikemukakan oleh matematikawan Swiss, L.Euler pada tahun 1736. Pelabelan graf pada pertengahan tahun 1960-an diperkenalkan melalui hipotesis Ringel dan Rosa. Pelabelan graf merupakan fungsi bijektif yang memetakan himpunan dari elemen-elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif. Inayah(2013) mengembangkan pelabelan selimut H − antimagic pada graf G yang mempunyai sebuah fungsi bijektif sehingga terdapat jumlah-jumlah yang membentuk barisan aritmatika a,a + d,a + 2d,...,a + (n − 1)d yang mempunyai fungsi bijektif pada suatu graf yang berbeda dan berututan. Pada penelitian ini, akan dibahas mengenai super (a,d)-H-antimagic total covering orde dua pada operasi amalgamasi. : suatu graf G dapat dikatakan sebagai (a,d)-H-antimagic total apabila ada fungsi bijektif f V(G) ∪ E(G) −→ {1,2,...,|V(G)| + |E(G)|} untuk setiap subgraf G isomorfis terhadap H dan bobot total selimutnya adalah W(H) = ΣvV(H)f(v) + ΣeE(H)f(e) membentuk barisan aritmatika orde dua {a,a +d,a+3d,a+6d,...,a+((n−1)(n−2) 2 )d}, dengan a dan d merupakan bilangan bulat positif dan n merupakan jumlah semua subgraf G yang isomorfis terhadap H. Amalgamasi memiliki himpunan titik V = {A} ∪ {xij;1 ≤ i ≤ pH − 1,1 ≤ j ≤ n} dan himpunan sisi E = {eij;1 ≤ i ≤ qH,1 ≤ j ≤ n}. Sedangkan jumlah titik pG =n(pH −1)+1danjumlah sisi qG = nqH. Metode yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah metode deskriptif aksiomatik yaitu menentapkan pengertian dasar-H-antimagic orde dua, kemudian dikenalkan beberapa teorema mengenai pelabelan super (a,d)-H- antimagic orde dua pada graf hasil operasi amalgamasi. Selanjutnya menurunkan teorema tersebut untuk memperoleh pelabelan titik dan pelabelan sisi pada graf hasil operasi amalgamasi. Selanjutnya metode pendeteksian pola yaitu digunakan untuk merumuskan pola pelabelan titik dan pelabelan sisi apabila graf hasil operasi amalgamasi diperumumkan, sehingga akan didapatkan perumusan pelabelan super (a, d)-H- antimagic pada graf hasil operasi amalgamasi. Pada penelitian ini, diperoleh batas atas beda d ≤ 2(p2 H−pH+q2 H) , selanjutnya diperoleh Lemma yang terkait dengan fungsi bijektif partisi untuk pelabelan yang digunakan pada graf operasi amalgamasi adalah n Pn m,d7 (j) = 2n3+4n 6 + (−mj+mj2) 2 dan Pn m,d8(j) = −2n3+30n2+2n 6 . Sehingga, teorema baru untuk pelabelan super (a,d)-H- antimagic pada graf hasil operasi amalgamasi adalah Wj = a + (j − 1)b + (j−1)(j−2)d + −mj2+mj 2 2 dengan a =1+2n3+4n 6 +−2n3+2n+30n2 6 +n 2 (m2 2 −m2+2m2 4−2m4+m2 6+m6+2m2 7+2m2 8+ m8)+1 4 (4m2+2m3+2m2 3+5m4−4m6+2m2 7+2m7−m8)+(m1+m2+m3+m4+m5+ m6+m7+m8)+nm1(m2+m3+m4+m5+m6+m7+m8)+nm2(m3+m4+m5+m6+ m7+m8)+nm3(m4+m5+m6+m7+m8)+nm4(m5+m6+m7+m8)+nm5(m6+ m7+m8)+nm6(m7+m8)+nm7m8+n 4 (2c2 1−2c1+2c2 3−c3+2c2 4+2c4+4c2 5+2c2 6+ c6)+ 1 2 (2c1+c2+c2 2+4c3−c2 5+c5+c6)+(npH −n+1)(c1+c2+c3+c4+c5+c6)+ nc1(c2+c3+c4+c5+c6)+nc2(c3+c4+c5+c6)+nc3(c4+c5+c6)+nc4(c5+c6)+nc5c6, b = m2+m2 3 + m4 2 −m6−m2 7 − m8 2 +c1 +c2 + c3 2 −c4 −c2 5 − c6 2 dan nilai beda d =m1−m5,dimanaΣ8 t=1mt = pH −1danΣ6 t=1ct = qH.