Pewarnaan Sisi Ketakteraturan Lokal Refleksif pada Keluarga Graf Unicyclic

Abstract

Topik graf pada penelitian ini adalah pewarnaan sisi. Definisi dari pewarnaan sisi adalah memberi warna pada setiap sisi pada graf sehingga setiap sisi yang bertetangga memiliki warna yang berbeda. Jumlah warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan sisi di sebut bilangan kromatik sisi yang di lambangkan dengan 𝜒′(𝐺) Penelitian ini menggunakan salah satu pewarnaan sisi yaitu pewarnaan sisi ketakteraturan lokal refleksif, dimana melabeli titik dengan {0,2,…,2𝑘𝑣} dan melabeli sisi pada graf dengan menggunakan label sisi yaitu {1,2,…,𝑘𝑒} dimana 𝑘=𝑚𝑎𝑥{2𝑘𝑣,𝑘𝑒} dengan 𝑘𝑣, 𝑘𝑒 merupakan bilangan asli. Pada sebuah pelabelan sisi ketakteraturan lokal refleksif, ketakteraturan menunjukkan pelabelan titik maupun sisinya boleh berulang dan lokal menunjukkan bahwa setiap dua titik yang bertetangga memiliki bobot titik yang berbeda. Bobot sisi dari pewarnaan sisi ketakteraturan lokal refleksif didapatkan dengan cara menjumlahkan label sisi dirinya sendiri dengan label titik yang yang bersisian dengan sisi tersebut. Jumlah warna minimal yang digunakan untuk mewarnai semua sisinya sehingga setiap sisi yang bertetangga memiliki warna yang berbeda disebut bilangan kromatik sisi ketakteraturan lokal refleksif yang dinotasikan dengan 𝜒𝑙𝑟𝑒𝑐𝑠(𝐺). Selanjutnya 𝑘 minimum yang dibutuhkan bilangan kromatik 𝜒𝑙𝑟𝑒𝑐𝑠(𝐺)=𝜒′(𝐺) adalah local reflexive edge color strength, yang dinotasikan dengan 𝑙𝑟𝑒𝑐𝑠(𝐺). Penelitian ini menggunakan penelitian eksploratif dan terapan dikarenakan bertujuan agar topik ini dapat dikenal masyarakat luas dan menjadi gambaran terkait topik bahasan dan dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode deduktif aksiomatik dan pendeteksian pola. Metode deduktif aksiomatik adalah metode yang menggunakan aksioma, lemmas dan teorema untuk membuktikan sebuah permasalahan matematika secara logis. Pendeteksi pola adalah metode yang digunakan untuk mengidentifikasi sebuah pola, kardinalitas dan menemukan pola dari pewarnaan sisi ketakteraturan lokal refleksif. Penelitian ini menghasilkan empat lemma pewarnaan sisi kromatik biasa dan empat teorema terkait pewarnaan sisi ketakteraturan lokal refleksif pada keluarga graf unicyclic yaitu 𝑆𝑛, 𝐶𝑟𝑚,𝑛, 𝑇𝑚,𝑛 dan 𝐵3,𝑛. Berikut lemma dan teorema yang dihasilkan pada penelitian ini : Lemma 1 Bilangan kromatik sisi graf sun (𝑆𝑛) untuk 𝑛≥3 adalah 𝜒′(𝑆𝑛)=3. Lemma 2 Bilangan kromatik sisi graf cricket (𝐶𝑟𝑚,𝑛) untuk 𝑚≥3 dan 𝑛≥3 adalah 𝜒′(𝐶𝑟𝑚,𝑛)=4. Lemma 3 Bilangan kromatik sisi graf tadpole (𝑇𝑚,𝑛) untuk 𝑚≥3 dan 𝑛≥1 adalah 𝜒′(𝑇𝑚,𝑛)=3. Lemma 4 Bilangan kromatik sisi graf bull (𝐵3,𝑛) untuk 𝑛≥2 adalah 𝜒′(𝐵3,𝑛)=3. Teorema 1 Misalkan graf G adalah graf sun 𝑆𝑛 untuk setiap 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 dan 𝑛≥3, nilai 𝑙𝑟𝑒𝑐𝑠(𝑆𝑛)=2. Teorema 2 Misalkan graf G adalah sebuah graf cricket (𝐶𝑟𝑚,𝑛) untuk 𝑚≥4 dan 𝑛≥3, nilai 𝑙𝑟𝑒𝑐𝑠(𝐶𝑟𝑚,𝑛)=2. Teorema 3 Misalkan graf G adalah sebuah graf tadpole (𝑇𝑚,𝑛) untuk 𝑚≥3 dan 𝑛≥1, nilai 𝑙𝑟𝑒𝑐𝑠(𝑇𝑚,𝑛)=2. Teorema 4 Misalkan graf G adalah sebuah graf bull (𝐵3,𝑛) untuk 𝑛≥2, nilai 𝑙𝑟𝑒𝑐𝑠(𝐵3,𝑛)=2.