Analisis Bilangan Koneksi Pelangi Antiajaib pada Keluarga Graf Roda dan Kaitannya dengan Keterampilan Berpikir Kombinatorial

Abstract

Perkembangan teknologi informasi dan komunikasi dalam pendidikan yang sangat pesat menuntut setiap individu untuk dapat selalu mengembangkan pikiran serta wawasan dalam menyelesaikan berbagai masalah kehidupan. Matematika merupakan suatu subjek yang selalu menuntut individu untuk dapat menemukan pemecahan dan penyelesaian terhadap suautu masalah dengan berbagai macam keterampilan berpikir, salah satunya yaitu keterampilan berpikir kombinatorial. Pembelajaran tentang berbagai konsep kombinatorika menuntut siswa mengalami suatu cara khusus dalam berpikir. Proses berpikir tersebut sering disebut dengan berpikir kombinatorial. Menurut beberapa ahli, berpikir kombinatorial merupakan suatu pemikiran dalam menemukan suatu langkah sistematis untuk memberikan keyakinan bahwa semua kemungkinan penyelesaian sudah didiskusikan atau dipikirkan. Salah satu topik dalam kombinatorika yang sangat kaya akan celah penelitian yaitu teori graf. Teori graf memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, khususnya pewarnaan graf dan pelabelan graf. Andaikan G(V, E) merupakan suatu graf simpel dan terkoneksi dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Sebuah fungsi bijektif f : V → {1, 2, 3, . . . , |V (G)|} dikatakan sebuah pelabelan pelangi antiajaib jika ada sebuah lintasan pelangi di antara setiap pasangan titik-titik dan untuk setiap sisi e = uv ∈ E(G), bobot w(e) = f(u) + f(v). Sebuah graf G dikatakan pelangi antiajaib jika G dilabeli pelangi antiajaib. Bilangan koneksi pelangi antiajaib dari suatu graf G dinotasikan dengan rcA(G) yaitu jumlah warna paling sedikit yang dibutuhkan untuk membuat graf G menjadi graf terkoneksi pelangi, dengan pelabelan antiajaib. Pada penelitian ini digunakan metode pendeteksian pola dan metode deduktif aksiomatik dalam menentukan nilai bilangan koneksi pelangi antiajaib pada keluarga graf roda. Penelitian ini menghasilkan lima teorema baru yaitu: 1. Teorema 1 untuk graf roda Wn dengan n = [3, 4], bilangan koneksi pelangi antiajaib adalah rcA(Wn) = 5 dan untuk n ≥ 5 didapat rcA(Wn) = n. 2. Teorema 2 untuk graf gir Gn dengan n ≥ 3, bilangan koneksi pelangi antiajaib adalah 3 = rc(Gn) ≤ rcA(Gn) ≤ n + 2 untuk n = 3 dan 4 = rc(Gn) ≤ rcA(Gn) ≤ n + 2 untuk n ≥ 4. 3. Teorema 3 untuk graf helm Hn dengan n ≥ 3, bilangan koneksi pelangi antiajaib adalah n = rc(Hn) ≤ rcA(Hn) ≤ n + d n 2 e + 2 untuk 3 ≤ n ≤ 6 dan n + 3 = rc(Hn) ≤ rcA(Hn) ≤ n + d n 2 e + 2 untuk n ≥ 7. 4. Teorema 4 untuk graf persahabatan F rn dengan n ≥ 2 , bilangan koneksi pelangi antiajaib adalah rcA(F rn) = 2n. 5. Teorema 5 untuk graf bunga Fln dengan n ≥ 3 , bilangan koneksi pelangi antiajaib adalah rcA(Fln) = 2n. Kaitan bilangan koneksi pelangi antiajaib pada keluarga graf roda dengan keterampilan berpikir kombinatorial yaitu sub indikator mengidentifikasi properti/karakteristik masalah terkandung ketika tahap awal memahami konsep dan cara mencari bilangan koneksi pelangi antiajaib, sub indikator menerapkan beberapa kasus terkandung dalam proses melabeli setiap titik pada keluarga graf roda dengan order kecil. Sub indikator mengidentifikasi pola terkandung ketika mengetahui pola pelabelan titik dan pola bilangan koneksi pelangi antiajaib pada keluarga graf roda, sub indikator memperluas pola terkandung dalam menerapkan pola pelabelan yang didapat pada graf dengan order yang lebih tinggi. Sub indikator menerapkan simbolisasi matematika tersirat ketika memberikan simbol atau indeks unuk setiap titik yang terdapat pada keluarga graf roda, sub indikator menghitung kardinalitas terkandung ketika menghitung kardinalitas pada keluarga graf roda, sub indikator mengembangkan algoritma merupakan indikator yang terkandung dalam setiap alur proses pencarian bilangan koneksi pelangi antiajaib. Melakukan perhitungan argumen merupakan sub indikator yang terdapat ketika menghitung kardinalitas graf hingga order ke-n, menguji algoritma terkandung ketika menguji rumus dan fungsi titik yang telah ditemukan. mengembangkan dan menguji bijeksi tersirat ketika membuat fungsi titik dan mengujinya untuk order rendah hingga order ke-n, dan menerapkan pembuktian deduktif, induktif dan kualitatif yaitu ketika proses pembuktian teorema yang telah didapatkan. Sub indikator melakukan interpretasi terkandung dalam kegiatan menjelaskan apa yang telah dipahami dalam pencarian bilangan koneksi pelangi antiajaib pada keluarga graf roda. Sehingga, secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa indikator dan sub indikator keterampilan berpikir kombinatorial terkandung di dalam proses pencarian bilangan koneksi pelangi antiajaib pada keluarga graf roda.