Nilai Ketakteraturan Titik Jarak Satu Inclusive Pada Graf Broom(Brn;m), Banana Tree(Bn;m) dan Firecracker (Fn;m)

Abstract

Pelabelan suatu graf merupakan pemetaan dari elemen-elemen graf yaitu titik, sisi ataupun keduanya ke bilangan (biasanya) bulat positif dengan syarat tertentu. Pelabelan graf berdasarkan domain pemetaannya dibedakan menjadi pelabelan titik (vertex labeling), pelabelan sisi (edge labeling), dan pelabelan total (total labeling). Penjumlahan dari label yang terdapat pada titik dari suatu graf disebut bobot titik. Slamin dkk (2014) memperkenalkan konsep baru dari pelabelan tidak teratur yang evaluasinya berdasarkan tetangga dari sebarang titik pada suatu graf G. Pelabelan tersebut diberi nama pelabelan titik tidak teratur jarak d. Notasi d menunjukkan jarak titik yang digunakan dalam suatu penelitian. Dikatakan tidak teratur dapat dilihat dari label titik yang digunakan boleh berulang. Tahun 2016, dengan konsep yang sama, Slamin dkk memperkenalkan pelabelan titik tidak teratur jarak d inclusive. Perbedaan dari pelabelan titik tidak teratur jarak d inclusive dan pelabelan titik tidak teratur jarak d terletak pada cara mendapatkan bobot suatu titik pada graf G. Pelabelan titik tidak teratur jarak d inclusive yang didefinisikan sebagai suatu pemetaan himpunan titik pada graf G terhadap himpunan bilangan bulat positif f1; 2; ::; kg sedemikian sehingga menghasilkan bobot berbeda di setiap titiknya. Bobot titik x dapat dirumuskan dengan wt(x) = (x) + P u:1 d(u;x) d (u): Nilai minimum dari label terbesar k merupakan nilai ketakteraturan titik jarak d inclusive yang dinotasikan dengan disd(G). Jarak yang digunakan dalam pelabelan ini yaitu jarak satu sehingga dapat dinotasikan dengan dis1(G) atau dapat dinotasikan dengan dis(G) . Slamin (2016) juga menentukan batas bawah nilai dis suatu graf G yang evaluasinya berdasarkan derajat terbesar dan derajat terkecil. Misalkan G merupakan graf terhubung dengan n titik dengan derajat terkecil ,derajat terbesar , maka dis(G)

n + + 1

. Dalam pelabelan ini, tidak semua graf dapat dilabeli dengan pelabelan titik tidak teratur jarak satu inclusive. Suatu graf G memiliki nilai dis = 1jika dan hanya jika terdapat dua titik yang berbeda u; v 2 V (G)Pelabelan suatu graf merupakan pemetaan dari elemen-elemen graf yaitu titik, sisi ataupun keduanya ke bilangan (biasanya) bulat positif dengan syarat tertentu. Pelabelan graf berdasarkan domain pemetaannya dibedakan menjadi pelabelan titik (vertex labeling), pelabelan sisi (edge labeling), dan pelabelan total (total labeling). Penjumlahan dari label yang terdapat pada titik dari suatu graf disebut bobot titik. Slamin dkk (2014) memperkenalkan konsep baru dari pelabelan tidak teratur yang evaluasinya berdasarkan tetangga dari sebarang titik pada suatu graf G. Pelabelan tersebut diberi nama pelabelan titik tidak teratur jarak d. Notasi d menunjukkan jarak titik yang digunakan dalam suatu penelitian. Dikatakan tidak teratur dapat dilihat dari label titik yang digunakan boleh berulang. Tahun 2016, dengan konsep yang sama, Slamin dkk memperkenalkan pelabelan titik tidak teratur jarak d inclusive. Perbedaan dari pelabelan titik tidak teratur jarak d inclusive dan pelabelan titik tidak teratur jarak d terletak pada cara mendapatkan bobot suatu titik pada graf G. Pelabelan titik tidak teratur jarak d inclusive yang didefinisikan sebagai suatu pemetaan himpunan titik pada graf G terhadap himpunan bilangan bulat positif f1; 2; ::; kg sedemikian sehingga menghasilkan bobot berbeda di setiap titiknya. Bobot titik x dapat dirumuskan dengan wt(x) = (x) + P u:1 d(u;x) d (u): Nilai minimum dari label terbesar k merupakan nilai ketakteraturan titik jarak d inclusive yang dinotasikan dengan disd(G). Jarak yang digunakan dalam pelabelan ini yaitu jarak satu sehingga dapat dinotasikan dengan dis1(G) atau dapat dinotasikan dengan dis(G) . Slamin (2016) juga menentukan batas bawah nilai dis suatu graf G yang evaluasinya berdasarkan derajat terbesar dan derajat terkecil. Misalkan G merupakan graf terhubung dengan n titik dengan derajat terkecil ,derajat terbesar , maka dis(G)

n + + 1

. Dalam pelabelan ini, tidak semua graf dapat dilabeli dengan pelabelan titik tidak teratur jarak satu inclusive. Suatu graf G memiliki nilai dis = 1jika dan hanya jika terdapat dua titik yang berbeda u; v 2 V (G) dengan fug [ NG(u) = fvg [ NG(v): Pada penelitian ini, akan dicari nilai ketakteraturan titik jarak satu pada graf broom (Brn;m), graf banana tree (Bn;m) dan graf firecracker (Fn;m): Pada graf (Brn;m) dengan n = 3 dan m 3 menghasilkan nilai dis(Br3;m) = m. Pada graf banana tree mengasilkan dua nilai ketakteraturan titik jarak satu yaitu pertama untuk (Bn;m) dengan n = 2 dan m = 3 menghasilkan nilai dis(B2;3) = 4, sedangkan yang kedua yaitu untuk (Bn;m) dengan n = 2 dan m 4 menghasilkan nilai dis(B2;m) = m. Selanjutya untuk graf firecracker Fn;m dengan n 3 dan m = 3 menhasilkan nilai dis(Fn;3) = n + 1.