PELABELAN TOTAL SUPER (a; d)-SISI ANTIMAGIC PADA GABUNGAN SALING LEPAS GRAF FIRECRACKER

Abstract

Salah satu topik teori graf yang menarik dan dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu adalah pelabelan graf. Pelabelan total super(a,d)-sisi antimagic (SEATL) adalah salah satu jenis pelabelan graf yang sulit ditemukan khususnya pada gabungan graf yang saling lepas karena melibatkan banyak angka dan jumlah graf yang tidak sedikit. Suatu graf dapat dinotasikan dengan G(V; E) yang merupakan suatu graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Sebuah pemetaan satu-satu f dari V (G) [ E(G) ke himpunan bilangan bulat f1; 2; 3; :::; v + eg disebut pelabelan total (a; d)-sisi antimagic jika himpunan bobot sisinya W(uv) = f(u) + f(v) + f(uv) sehingga pada semua sisi G adalah fa; a+d; :::; a+(e¡1)dg untuk a > 0 dan d ¸ 0 keduanya adalah bilangan bulat. Sebuah pelabelan total (a; d)-sisi antimagic disebut pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic jika f(V ) = f1; 2; 3:::; vg dan f(E) = fv +1; v +2; :::; v + eg.

Dalam penelitian ini, pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada gabungan saling lepas graf firecracker (mFn; k) dapat ditemukan pada m; n ganjil (m ¸ 2 dan n ¸ 2) dan k ¸ 3. Graf firecracker merupakan graf yang diperoleh dari penggabungan graf-graf bintang dengan tepat satu daun masing-masing graf tersebut dihubungkan (Chen et al. 1997, Gallian 2007), biasanya dilambangkan F

dengan n adalah banyaknya graf bintang yang digabung, sedangkan k adalah jumlah titik dari tiap satu graf bintang yang digabungkan. Jika n;k terdapat gabungan saling lepas graf firecracker (mFn; k) dalam penelitian ini, maka berarti terdapat sejumlah m buah graf firecracker F

yang akan dilabeli. Pelabelan ini diawali dengan menghitung nilai batas atas d yang melibatkan juga jumlah sisi dan jumlah titik pada gabungan graf yang diteliti dan pendeteksian pola (pattern recognition) terlebih dahulu ketika memulai menentukan pelabelannya. Berdasarkan lemma yang telah ditemukan, nilai d dapat dihi-eberapa lemma dan teorema dihasilkan berdasarkan pola pelabelan yang telah ditemukan dan dapat dibuktikan secara deduktif matematik. Pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada gabungan saling lepas graf firecracker terlihat pada fungsi-fungsi bijektif yang dihasilkan dalam lemma dan teorema yang dihasilkan. Berikut ini beberapa lemma dan teorema yang dihasilkan:

² Lemma 4.3.1 Ada pelabelan titik ( ; 1)-sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mF n;k 2mn+m+3 2

jika m dan n ganjil, m ¸ 2, n ¸ 2, dan k ¸ 3 ² Teorema 4.3.1 Ada pelabelan total super ((2k + 1)mn + ; 0)-sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mF n;k 3¡m 2 jika m dan n ganjil, m ¸ 2, n ¸ 2, dan k ¸ 3

² Teorema 4.3.2 Ada pelabelan total super ((k + 1)mn + ; 2)-sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mF n;k m+5 2 jika m dan n ganjil, m ¸ 2, n ¸ 2, dan k ¸ 3

² Lemma 4.3.2 Ada pelabelan titik (m + 2; 2)-sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mF

n;k jika m ¸ 2 dan n genap(n ¸ 2), dan k ¸ 3 ² Teorema 4.3.3 Ada pelabelan total super (2mnk + 2; 1)-sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mF n;k jika m ¸ 2, n genap(n ¸ 2), dan k ¸ 3

² Teorema 4.3.4 Ada pelabelan total super (mnk + m+ 3; 3)-sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mF jika m ¸ 2, n genap(n ¸ 2), dan k ¸ 3 Kesimpulan yang didapat dari hasil penelitian ini adalah ada pelabelan n;k total super (a; d)-sisi antimagic pada gabungan saling lepas graf firecracker(mFn; k). Pelabelan tersebut berlaku pada m; n ganjil (m ¸ 2 dan n ¸ 2) dan k ¸ 3, untuk d = 0 dan d = 2 serta berlaku pada m ¸ 2, n genap(n ¸ 2), dan k ¸ 3 untuk d = 1 dan d = 3. Nilai a dapat dilihat pada lemma dan teorema yang dihasilkan dan nilai beda d adalah 0,1,2,3.