Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Segitiga Bermuda

Abstract

Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam teori graf. Terdapat berbagai jenis tipe pelabelan graf, salah satunya adalah pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic (SEATL). Pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada sebuah graf G = (V; E) adalah pelabelan titik dengan bilangan bulat 1; 2; 3; :::; p dan pelabelan sisi dengan bilangan bulat f(E) = fp + 1; p + 2; p + 3; :::p + qg dari sebuah graf G dimana orde p adalah banyaknya titik dan size q adalah banyaknya sisi pada graf G. Graf segitiga bermuda adalah sebuah graf baru yang dinotasikan dengan Btr i;4 dimana V = fx ; 1 · i · n + 1; 1 · j · 4; n 2 N; j 2 Ng dan E = fx i y i i ; y ; y i i z ; z i i ; x ; x i z i;j i ; y i;j ; 1 · i · n + 1g [ fx i z i+1 ; z i y i+1 ; y i x i+1 ; 1 · i · ng [ fx ; 1 · i · n +1; 1 · j · 4g [ fx i+1 x i;j ; y i+1 y i;j ; z i+1 z i;j i x i;j ; y i y i;j ; z i z i;j ; 1 · i · n + 1; 1 · j · 4; n 2 N; j 2 Ng. Graf Segitiga Bermuda memiliki orde p = 15n + 15 dengan size q = 30n + 15 dimana p dan q berturut-turut menyatakan sebagai jumlah titik dan jumlah sisi. Graf Btr dinamakan Graf segitiga Bermuda karena bentuk dasar dari graf tersebut berbentuk bangun segitiga. Selain itu, terdapat garis lengkung yang menghubungkan titik-titik tertentu yang terlihat seakan-akan terpusat pada segitiga terkecil dan menyerupai pusaran air. Alasan tersebutlah yang menyebabkan Graf Btr dinamakan Graf Segitiga Bermuda. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui keberadaan fungsi bijektif pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada Graf Segitiga Bermuda. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah pattern recognition (pendeteksian pola) dan deduktif aksiomatik , yaitu dengan menurunkan teorema yang telah ada, yaitu Lemma 2.8.1 (mencari batas atas nilai beda d), Lemma 2.8.2 (membuktikan pelabelan total super (a, 1)-sisi antimagic) dan Teorema vii ; z i;j i;4 i;4 2.8.1 (membuktikan pelabelan total super (a, 1)-sisi antimagic pada gabungan graf dalam m copy), kemudian diterapkan dalam pelabelan total super (a; d)sisi antimagic pada Graf Btr i;4 dan mBtr . Sesuai dengan tujuan dan hasil dalam penelitian ini, ditemukan beberapa viii i;4 Lemma dan Teorema baru mengenai pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada Graf Segitiga Bermuda Btr yaitu: i;4 beserta gabungan saling lepasnya mBtr 1. Lemma 4.5.1 Terdapat pelabelan titik (7; 1)-sisi antimagic pada graf Segitiga Bermuda Btr i;4 jika 1 · i · n + 1, 1 · j · 4 dan i; j; n 2 N. 2. Teorema 4.5.1 Terdapat pelabelan total super (45n + 37; 0)-sisi antimagic, (30n + 30; 1)-sisi antimagic, dan (15n + 23; 2)-sisi antimagic pada graf Segitiga Bermuda Btr i;4 jika 1 · i · n + 1, 1 · j · 4 dan i; j; n 2 N. 3. Lemma 4.6.1 Terdapat pelabelan titik (6m ¡ ( ) + 1; 1)-sisi antimagic pada gabungan Graf Segitiga Bermuda (mBtr m¡1 2 ) jika m ganjil, m ¸ 3, 1 · i · n + 1, 1 · j · 4 dan i; j; n 2 N. i;4 4. Teorema 4.6.1 Terdapat pelabelan total super (45mn + 35m + + 1; 0)sisi antimagic, (30mn + 28m + 2; 1)-sisi antimagic, dan (15mn + 21m + 1¡m 2 + 2; 2)-sisi antimagic pada gabungan graf Segitiga Bermuda mBtr jika m ganjil, m ¸ 3, 1 · i · n + 1, 1 · j · 4 dan i; j; n 2 N. 5. Teorema 4.6.2 Terdapat pelabelan total super (30mn+28m+2,1)-sisi antimagic pada gabungan graf Segitiga Bermuda mBtr jika m ¸ 2 dan m genap, 1 · i · n + 1, 1 · j · 4 dan i; j; n 2 N. i;4 6. Masalah Terbuka 4.5.1 Pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada gabungan graf Segitiga Bermuda (mBtr ), dengan 1 · i · n +1, 1 · j · 4 dan i; j; n 2 N; m genap untuk d = 0 dan d = 2. i;4 Perlu diketahui bahwa lemma atau teorema dalam penelitian ini adalah bukan lemma atau teorema yang biimplikatif yaitu teroma yang pembuktiannya m+1 2 i;4 i;4 hanya dilakukan satu arah dan tidak bersifat tunggal (berkenaan dengan sifat ketunggalan) melainkan hanya bersifat keberadaan (existence but not unique).