Pelabelan Total Super (a, d)-Sisi Antimagic pada Gabungan Saling Lepas Graf Firecracker

Abstract

Salah satu topik teori graf yang menarik dan dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu adalah pelabelan graf. Pelabelan total super(a,d)-sisi an timagic (SEATL) adalah salah satu jenis pelabelan graf yang sulit ditemukan khususnya pada gabungan graf yang saling lepas karena melibatkan banyak angka dan jumlah graf yang tidak sedikit. Suatu graf dapat dinotasikan dengan G(Vt E) yang merupakan suatu graf dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E. Sebuah pemetaan satu-satu / dari V{G) U E (G) ke himpunan bilang an bulat {1,2,3,..., v + e} disebut pelabelan total (a, d)-sisi antimagic jika him punan bobot sisinya W (uv) — f (u) +■ f (v) + f(uv) sehingga pada semua sisi G adalah (a,a+tf,a-f-(e-l)d} untuk a > Odanrf > 0 keduanya adalah bilangan bulat Sebuah pelabelan total (a, d)-sisi antimagic disebut pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic jika f(V) = {1,2,3..., v} dan f (E) = {v 4-1, v + 2, ...,u + e}. Dalam penelitian ini, pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada gabu ngan saling lepas graf firecracker (mFn,k) dapat ditemukan pada m, n ganjil (m > 2 dan n > 2) dan k > 3. Graf firecracker merupakan graf yang diperoleh dari penggabungan graf-graf bintang dengan tepat satu daun masing-masing graf tersebut dihubungkan (Chen et al. 1997, Gallian 2007), biasanya dilam bangkan Fn,h dengan n adalah banyaknya graf bintang yang digabung, sedan gkan k adalah jumlah titik dari tiap satu graf bintang yang digabungkan. Jika terdapat gabungan saling lepas graf firecracker (mFn, k) dalam penelitian ini, maka berarti terdapat sejumlah m buah graf firecracker Fn>k yang akan dilabeli. Pelabelan ini diawali dengan menghitung nilai batas atas d yang melibatkan juga jumlah sisi dan jumlah titik pada gabungan graf yang diteliti dan pende teksian pola (pattern recognition) terlebih dahulu ketika memulai menentukan pelabelannya. Berdasarkan lemma yang telah ditemukan, nilai d dapat dihi tung yaitu d e {0,1,2,3}. Setelah itu, pola pelabelan ditemukan sehingga menghasilkan beberapa lemma dan teorema baru terkait dengan jenis pela belan yang diteliti. Beberapa lemma dan teorema dihasilkan berdasarkan pola pelabelan yang telah ditemukan dan dapat dibuktikan secara deduktif matematik. Pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada gabungan saling lepas graf firecracker ter lihat pada fungsi-fungsi bijektif yang dihasilkan dalam lemma dan teorema yang dihasilkan. Berikut ini beberapa lemma dan teorema yang dihasilkan: • Lemma 4.3.1 Ada pelabelan titik (2wn+m+3, i y sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mFn,k jika m dan n ganjil, m > 2, n > 2, dan k > 3 • Teorema 4.3.1 Ada pelabelan total super ({2k + l)mn + 0)~sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mFn jika m dan n ganjil, m > 2, n > 2, dan k > 3 • Teorema 4.3.2 Ada pelabelan total super ((k + l)mn + 2)~sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mFn,fc jika m dan n ganjil, m > 2 , n > 2, dan k > 3 • Lemma 4.3.2 Ada pelabelan titik (m-1- 2,2 )-sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mF„,fc jika m > 2 dan n genap(n > 2), dan k > 3 • Teorema 4.3.3 Ada pelabelan total super (2mnk + 2, l)-sisz antimagic pada gabungan graf firecracker mFn& jika m > 2, n genap(n > 2), dan k > 3 • Teorema 4.3.4 Ada pelabelan total super (mnk + m + 3,3)-sisi antimagic pada gabungan graf firecracker mFn,fc jika m >2, n genap(n > 2), dan k > 3 Kesimpulan yang didapat dari hasil penelitian ini adalah ada pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic pada gabungan saling lepas graf firecracker• (mFn, k). Pelabelan tersebut berlaku pada m, n ganjil (m > 2 dan n > 2) dan k > 3, untuk d = 0 dan d = 2 serta berlaku pada m > 2 , n genap(n > 2), dan k > 3 untuk d = 1 dan d = 3. Nilai a dapat dilihat pada lemma dan teorema yang dihasilkan dan nilai beda d adalah 04/2,3.