TOTAL EDGE IRREGULARITY STRENGTH (TES) DARI GABUNGAN GRAF BINTANG

Abstract

Teori graf merupakan salah satu cabang matematika aplikasi yang banyak terpresentasi dan dipakai dalam kehidupan sehari-hari. Aplikasi graf erat kaitannya dengan topik yang dipelajari dalam graf dan jenis graf itu sendiri. Salah satu topik dari teori graf adalah pelabelan graf (graph labelling). Salah satu jenis tipe pelabelan graf adalah pelabelan total sisi irreguler pada gabungan graf bintang. Representasi dari graf bintang dapat dilihat dari hubungan seorang nasabah atau kelompok dengan Bank dalam kegiatan simpan pinjam uang. Sedangkan aplikasi dalam kehidupan nyata yang mirip dengan pelabelan jenis ini yaitu tentang penentuan biaya total pendistribusian barang produksi suatu perusahaan dalam skala sangat besar. Graf bintang adalah sebuah graf yang mempunyai n + 1 titik dengan Vn titik tepi dan satu titik pusat v yang berderajad n. Graf Bintang juga dapat disebut Graf Partisi Lengkap K1;n. Gabungan graf bintang yang akan diteliti adalah gabungan diskonektif graf bintang isomorfis dan non-isomorfis serta gabungan konektif graf bintang yang isomorfis. Gabungan konektif graf bintang yaitu gabungan beberapa graf bintang dengan menambahkan jembatan atau sisi penghubung antara satu titik tepi ke-n (vn) pada graf yang satu dengan satu titik tepi pertama (v1) pada graf bintang yang lain. Gabungan konektif graf bintang dibatasi pada graf bintang yang isomorfis. Permasalahannya adalah bagaimana melabeli gabungan graf bintang tersebut sedemikian hingga bilangan bulat positif terbesar yang dijadikan label pada beberapa variasi pelabelan total sisi irreguler adalah seminimum mungkin. Bilangan bulat positif terbesar yang minimum tersebut dinamakan dengan total edge irregularity strength dari graf G yang dinotasikan dengan tes(G). Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui berapa nilai (tes) dari gabungan graf bintang.Penelitian ini diawali dengan menentukan nilai batas bawah dari tes gabungan graf bintang dengan menerapkan teorema Baˇca, Jendrol, Miller, Ryan (2002:1379) yakni djEj+2 3 e · tes(G), selanjutnya menentukan nilai batas atas dari tes gabungan graf bintang dengan mencari formulasi dari pelabelan total sisi irregulernya sedemikian hingga bobot setiap sisinya berbeda. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deduktif aksiomatik, yaitu dengan menurunkan teorema yang telah ada dan pendeteksian pola yang kemudian diterapkan dalam pelabelan total sisi irregular dari total edge irregularity strength (tes) pada gabungan graf bintang. Sesuai dengan tujuan dan hasil dalam penelitian ini, ditemukan beberapa teorema baru mengenai nilai tes dari pelabelan total sisi irreguler pada gabungan graf bintang yaitu: 1. tes(mSn) = dmn+2 3 e, untuk m ¸ 2 dan n ¸ 1. 2. tes( Sm k=1 Snk) = dPm k=1 nk+2 3 e, untuk n ¸ 1, 1 · k · m dan m ¸ 2. 3. tes(kSn) = dk(n+1)+1 3 e, untuk k ¸ 2 dan n ¸ 2.