PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC PADA GRAF GUNUNG BERAPI

Abstract

Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Salah satu jenis pelabelan graf adalah pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic (SEATL). Pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada sebuah graf G = (V; E) adalah pelabelan titik dengan bilangan bulat f(V ) = f1; 2; 3; :::; pg dan pelabelan sisi dengan bilangan bulat f(E) = fp +1; p +2; p +3; :::p +qg dari sebuah graf G dimana p adalah banyaknya titik dan q adalah banyaknya sisi pada graf G. Graf Gunung Berapi adalah suatu graf baru yang belum memiliki famili graf dan belum memiliki pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic. Graf Gunung Berapi dinotasikan # n adalah sebuah graf dengan himpunan himpunan titik V(# ) = f x x i , y 1 y j j ; 1 · i · 3 ; 1 · j · ng dan himpunan sisi E(# n ) = fx 1 x 2 S x ; 1 · j · ng. Sedangkan perluasan graf Gunung Berapi dinotasikan # dengan 1 · i · s dan 1 · j · n mempunyai himpunan titik V(# ; 1 · i · s ; 1 · j · n ; n; s 2 Ng dan himpunan sisi E(# S x s x s¡1 S x s y j n;s ) = fx ; 1 · i · s dan 1 · j · n ; n; s 2 Ng. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui apakah graf Gunung Berapi memiliki pelabelan total super (a, d)-sisi antimagic. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif aksiomatik yaitu dengan menurunkan lemma yang telah ada tentang nilai batas d dan lemma untuk pelabelan graf saat d = 1, kemudian diterapkan dalam pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada graf # perluasan graf # n;s , dan m# . Metode pendeteksian pola yaitu untuk menentukan pola umum pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada graf Gunung Berapi. Hasil penelitian ini berupa lemma dan teorema baru mengenai pelabelan total super (a; d)-sisi antimagic pada graf Gunung Berapi # n;s , dan m# n;s . Teorema dan lemma yang dihasilkan adalah sebagai berikut: viii 2 x n;s 1 n 3 S x ) = f x x s n 1 S x , m# n x i i 3 S n;s , y x j i+1 , m# n , # n n;s , 1. Lemma 4.1.1 Ada pelabelan titik (3; 1)-sisi antimagic pada graf Gunung Berapi tunggal # untuk n ¸ 1, n adalah sebarang. Teorema 4.1.1 Ada pelabelan total super (2n + 9; 0)-sisi antimagic pada graf n Gunung Berapi tunggal # untuk n ¸ 1, n adalah ganjil. Teorema 4.1.2 Ada pelabelan total super (n + 7; 2)-sisi antimagic pada graf Gunung Berapi tunggal # n untuk n ¸ 1, n adalah ganjil. Teorema 4.1.3 Ada pelabelan total super ( n ; 1)-sisi antimagic pada graf Gunung Berapi tunggal # n 3n+16 2 untuk n ¸ 2, n adalah genap. 2. Lemma 4.2.1 Ada pelabelan titik ( ; 1)-sisi antimagic pada gabungan graf Gunung Berapi m# n 3m+3 2 untuk m ¸ 3, m adalah ganjil, dan untuk n ¸ 1, n adalah sebarang. Teorema 4.2.1 Ada pelabelan total super ( ; 0)-sisi antimagic pada gabungan graf Gunung Berapi m# n 4mn+15m+3 2 untuk m ¸ 3, m adalah ganjil, dan untuk n ¸ 1, n adalah ganjil. Teorema 4.2.2 Ada pelabelan total super ( ; 2)-sisi antimagic pada gabungan graf Gunung Berapi m# n 2mn+9m+5 2 untuk m ¸ 3, m adalah ganjil, dan untuk n ¸ 1, n adalah ganjil. Teorema 4.2.3 Ada pelabelan total super ( ,1)-sisi antimagic pada gabungan graf Gunung Berapi m# n 3mn+13m¡1 2 untuk m ¸ 3, m adalah ganjil, dan untuk n ¸ 2, n adalah genap. 3. Lemma 4.3.1 Ada pelabelan titik ( ; 1)-sisi antimagic pada perluasan graf Gunung Berapi tunggal # n;s s+3 2 untuk n ¸ 1, n adalah sebarang, dan untuk s ¸ 1, s adalah ganjil. ; 0)-sisi antimagic pada perluasan graf Gunung Berapi tunggal # Teorema 4.3.1 Ada pelabelan total super ( n;s 5s+4n+3 2 untuk n ¸ 1, n adalah sebarang, dan untuk s ¸ 1, s adalah ganjil. Teorema 4.3.2 Ada pelabelan total super ( ; 2)-sisi antimagic pada perluasan graf Gunung Berapi tunggal # n;s 3s+2n+5 2 untuk n ¸ 1, n adalah sebarang, dan untuk s ¸ 1, s adalah ganjil. ix Teorema 4.3.3 Ada pelabelan total super ( ; 1)-sisi antimagic pada perluasan graf Gunung Berapi tunggal # n;s 4s+3n+4 2 untuk n ¸ 2, n adalah genap, dan untuk s ¸ 1, s adalah ganjil. 4. Lemma 4.4.1 Ada pelabelan titik ( ; 1)-sisi antimagic pada perluasan gabungan graf Gunung Berapi m# n;s ms+3 2 untuk m ¸ 3, m adalah ganjil, dan untuk n ¸ 1, n adalah sebarang, dan untuk s ¸ 1, s adalah ganjil. Teorema 4.4.1 Ada pelabelan total super ( ; 0)-sisi antimagic pada perluasan gabungan graf Gunung Berapi m# 5ms+4mn+3 2 untuk m ¸ 3, m adalah ganjil, dan untuk n ¸ 1, n adalah ganjil, dan untuk s ¸ 1, s adalah ganjil. Teorema 4.4.2 Ada pelabelan total super ( n ; 2)-sisi antimagic pada perluasan gabungan graf Gunung Berapi m# 3ms+2mn+5 2 untuk m ¸ 3, m adalah ganjil, dan untuk n ¸ 1, n adalah ganjil, dan untuk s ¸ 1, s adalah ganjil. Teorema 4.4.3 Ada pelabelan total super ( n;s ; 1)-sisi antimagic pada perluasan gabungan graf Gunung Berapi m# 4ms+3mn+4 2 untuk m ¸ 3, m adalah ganjil, dan untuk n ¸ 2, n adalah genap, dan untuk s ¸ 1, s adalah ganjil.