Karakterisasi Unity Subring Proper Non Trivial Pada Ring (Zn;+;_)

Abstract

Struktur aljabar adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang himpunan dan operasi. Secara garis besar struktur aljabar dibagi menjadi dua yaitu teori grup dan teori ring. Teori grup adalah sebuah himpunan tak kosong dengan suatu opersi biner yang memenuhi aksioma grup. Sedangkan teori ring adalah sebuah himpunan tak kosong dengan dua opersi biner yang memenuhi aksioma ring. Suatu subset pada ring yang memenuhi semua aksioma ring disebut subring. Subring dibagi menjadi dua yaitu subring proper dan subring improper. Subring proper dibagi menjadi dua yaitu subring proper trivial dan subring proper non trivial. Subring proper trivial adalah subring yang hanya memiliki elemen identitas (0), sedangkan subring proper non trivial adalah subring dengan elemen identitas dan elemen yang lain dan tidak sama dengan ring. Subring improper adalah subring yang elemennya sama dengan ring. Unity adalah elemen satuan dalam ring. Sebuah ring belum tentu memiliki unity. Unity dalam suatu ring adalah tunggal. Wijaya (2010) mengatakan bahwa sebuah ring Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa adalah ring dengan unity (memiliki identitas perkalian) 1. Dari deskripsi subring, bahwasannya subring memiliki semua aksioma ring tetapi belum tentu memiliki unity. Jika subring dari ring (Zn;+; ) memiliki unity yang sama dengan ringnya maka dapat dikatakan subring tersebut adalah subring improper karena mengandung unity 1 yang mana 1 adalah generator dari ring (Zn;+; ). Jadi jika ada subring proper non trivial dari ring (Zn;+; ) memiliki unity maka unitinya bukan 1. Pada penelitian ini, akan dicari karakterisasi unity subring proper non trivial pada ring (Zn;+; ). Pada penelitian ini subring dibangun oleh

2l

pada ring (Zn;+; ) dengan n = m2l, m adalah bilangan ganjil kurang dari 10, l adalah bilangan bulat positif. Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa untuk subring

2l

pada ring (Z1 2l ;+; ) adalah subring proper trivial. Untuk subring

2l

pada ring (Z3 2k ;+; ) penentuan unity dibagi menjadi dua, yaitu l ganjil vii dan l genap. Untuk l ganjil, l = 2k + 1 dengan k adalah suatu bilangan bulat non negatif, unity berada pada 2 22k+1. Sedangkan l genap, l = 2k + 2 dengan k adalah suatu bilangan bulat non negatif, unity berada pada 22k+2. Untuk subring

2l

pada ring (Z5 2l ;+; ) penentuan unity dibagi menjadi empat, yaitu l = 4k + 1; l = 4k + 2; l = 4k + 3, dan l = 4k + 4 dengan k adalah suatu bilangan bulat non negatif. Untuk l = 4k + 1 unity berada pada 3 24k+1. Untuk l = 4k + 2 unity berada pada 4 24k+2. Untuk l = 4k + 3 unity berada pada 2 24k+3. Dan untuk k = 4l + 4 unity berada pada 24k+4. Untuk subring

2l

pada ring (Z7 2l ;+; ) penentuan unity dibagi menjadi tiga, yaitu l = 3k + 1; l = 3k + 2; dan l = 3k + 3 dengan k adalah suatu bilangan bulat non negatif. Untuk l = 3k + 1 unity berada pada 4 23k+1. Untuk l = 3k + 2 unity berada pada 2 23k+2. Dan untuk l = 3k + 3 unity berada pada 23k+4. Untuk subring

2l

pada ring (Z9 2l ;+; ) penentuan unity dibagi menjadi enam, yaitu l = 6k + 1; l = 6k + 2; l = 6k + 3; l = 6k + 4; l = 6k + 5, dan l = 6k + 6 dengan k adalah suatu bilangan bulat non negatif. Untuk l = 6k + 1 unity berada pada 5 26k+1. Untuk l = 6k + 2 unity berada pada 7 26k+2. Untuk l = 6k + 3 unity berada pada 8 26k+3. Untuk l = 6k +4 unity berada pada 4 26k+4. Untuk l = 6k +5 unity berada pada 2 26k+5. Dan untuk l = 6k + 6 unity berada pada 26k+6.