Analisis Bilangan Kromatik Packing pada Graf Hasil Operasi Edge Corona dan Relevansinya dengan Keterampilan Berpikir Kreatif

Abstract

Teori graf merupakan salah satu ilmu yang membantu dalam mengatasi berbagai permasalahan dalam berbagai disiplin ilmu. Dalam bidang matematika, graf memiliki banyak manfaat dalam mengatasi permasalahan sosial maupun permasalahan kehidupan sehari-hari. Pewarnaan graf merupakan bagian dari pelabelan graf, dimana pelabelan yang dimaksud disini merupakan pemberian warna pada titik-titik yang ada pada batas tertentu. Dalam pewarnaan graf terdapat kasus khusus yaitu pewarnaan packing. Pewarnaan packing itu sendiri adalah pewarnaan dimana jarak titik dengan warna yang sama i harus memiliki jarak minimal i + 1 dari titik sebelumnya. Bilangan kromatik packing χp merupakan banyaknya warna minimal dari graf dengan sembarang dua titik yang bertetangga berwarna i paling sedikit berjarak i + 1 dari titik sebelumnya. Warna pada titik berupa bilangan bulat positif (i = 1, 2, 3, ...) dan diperoleh dari peletakan warna berurutan sesuai dengan ketentuan minimal jarak dengan warna yang sama dimana jika sudah tidak memungkinkan menggunakan warna tertentu dikarenakan jarak yang tidak memenuhi syarat pewarnaan packing maka diharuskan berganti warna yang lain. Operasi edge corona ialah menggandakan graf pertama sebanyak sekali dan menggandakan graf kedua sebanyak jumlah sisi dari graf pertama, lalu setiap titik pada duplikat graf kedua dihubungkan pada titik yang bertetangga dari sisi ke−i pada graf pertama. Graf yang digunakan pada penelitian ini antara lain P2 ¦ Pn, P3 ¦ Pn, P4 ¦ Pn, P2 ¦ Sn, P3 ¦ Sn, P4 ¦ Sn, P2 ¦ Cn, P3 ¦Cn, dan P4 ¦Cn. Dalam pengerjaan permasalahan graf, untuk menemukan sebuah solusi dibutuhkan pemikiran yang kreatif dalam mengkombinasikan baik label maupun warna agar sesuai dengan topik graf yang dikerjakan. Dimana keterampilan berpikir kreatif memiliki beberapa aspek yang harus dipenuhi, yaitu fluency/keluwesan, flexibility/kelancaran, originality/orisinil, dan elaboration/terperinci, sehingga didapatkan hal baru yang orisinil. Rumusan masalah penelitian ini adalah mengetahui bagaimanakah bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona dan bagaimana relevansi antara pewarnaan packing pada graf hasil operasi edge corona dengan keterampilan berpikir kreatif. Kemudian, tujuan yang ingin dicapai adalah dapat menentukan bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona serta menganalisis relevansi antara proses pencarian bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona dengan keterampilan berpikir kreatif. Pada penelitian ini digunakan metode deduktif aksiomatik dan metode pendeteksian pola (pattern recognition) dalam menentukan nilai dari bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona. Penelitian ini menghasilkan sembilan teorema baru yaitu: 1. Teorema 4.2.1 Bilangan kromatik packing dari graf P2 ¦ Pn, untuk n ≥ 2 adalah χp (P2 ¦ Pn) = ¥ n 2 ¦ + 3. 2. Teorema 4.2.2 Bilangan kromatik packing dari graf P3 ¦ Pn, untuk n ≥ 2 adalah χp(P3 ¦ Pn) = ( n + 3, n ganjil n + 4, n genap . 3. Teorema 4.2.3 Bilangan kromatik packing dari graf P4 ¦ Pn, untuk n ≥ 2 adalah χp(P4 ¦ Pn) = ( ¥ 3n 2 ¦ + 3, n ganjil ¥ 3n 2 ¦ + 4, n genap . 4. Teorema 4.2.4 Bilangan kromatik packing dari graf P2 ¦ Sn, untuk n ≥ 2 adalah χp (P2 ¦ Sn) = 4. 5. Teorema 4.2.5 Bilangan kromatik packing dari graf P3 ¦ Sn, untuk n ≥ 2 adalah χp (P3 ¦ Sn) = 6. 6. Teorema 4.2.6 Bilangan kromatik packing dari graf P4 ¦ Sn, untuk n ≥ 2 adalah χp (P4 ¦ Sn) = 7. 7. Teorema 4.2.7 Bilangan kromatik packing dari graf P2 ¦ Cn, untuk n ≥ 3 adalah χp(P2 ¦ Cn) = ( 5, n ≡ 0(mod 4) 6, n ≡ 1, 2, 3(mod 4) . 8. Teorema 4.2.8 Bilangan kromatik packing dari graf P3 ¦ Cn, untuk n ≥ 3 adalah χp(P3 ¦ Cn) = ( § n 2 ¨ + 6, n = 3 ∧ n ≡ 0(mod 4) § n 2 ¨ + 7, n ≡ 1, 2(mod 4) ∧ n ≡ 3(mod 4), n ≥ 7 . 9. Teorema 4.2.9 Bilangan kromatik packing dari graf P4 ¦ Cn, untuk n ≥ 3 adalah χp(P4 ¦ Cn) = ( § 3n 2 ¨ + 4, n genap § 3n 2 ¨ + 5, n ganjil . Relevansi antara proses pencarian bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona dan keterampilan berpikir kreatif yaitu: 1. aspek fluency/kelancaran (mencetuskan berbagai gagasan mengenai: terminologi graf, pewarnaan packing, pola bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona yang telah diperoleh, hasil ekspansi graf yang telah menerapkan konsep pewarnaan packing apakah telah sesuai dengan rumus bilangan kromatik packing yang telah diperoleh, dan cara pembuktian teorema bilangan kromatik packing yang telah diperoleh), 2. aspek flexibility/fleksibilitas (menggunakan berbagai pernyataan mengenai: konsep dari definisi, lemma, dan teorema yang berkaitan dengan pewarnaan packing dan bilangan kromatik packing, dalam proses menemukan pola bilangan kromatik packing yang minimum, dan dalam proses menemukan dan membuktikan kebenaran teorema bilangan kromatik packing), 3. aspek originality/orisinil (menemukan generalisasi pola bilangan kromatik packing dari graf hasil operasi edge corona yang diperoleh, menciptakan teorema bilangan kromatik packing dari graf hasil operasi edge corona yang diperoleh, dan membuktikan kebenaran teorema bilangan kromatik packing dari graf hasil operasi edge corona yang diperoleh), dan 4. aspek elaboration/terperinci (menjelaskan secara terperinci mengenai: cara mencari kardinalitas dari graf hasil operasi edge corona yang diteliti, langkah penerapan konsep pewarnaan packing pada graf hasil operasi edge corona yang diteliti, pola pewarnaan packing dari graf hasil operasi edge corona yang diteliti, teorema bilangan kromatik packing dari graf hasil operasi edge corona yang diperoleh, dan membuktikan kebenaran teorema bilangan kromatik packing dari graf hasil operasi edge corona yang diperoleh). Semua tahapan dalam proses pencarian bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona akan dikaitkan dengan aspek keterampilan berpikir kreatif dan tolak ukur dari relevansi antara proses pencarian bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona dan keterampilan berpikir kreatif, yaitu dengan dilakukan penilaian oleh tiga dosen ahli dalam bidang graf terhadap peneliti yakni ketiga dosen yang ada di CGANT sebagai observer. Berdasarkan hasil analisis proses observasi mengenai relevansi antara proses pencarian bilangan kromatik packing pada graf hasil operasi edge corona dan keterampilan berpikir kreatif, didapatkan bahwa aspek fluency sebesar 96,7 %, aspek flexibility sebesar 93,7 %, aspek originality sebesar 91,7 %, aspek elaboration sebesar 98,3 %, dan tingkat kreativitas sebesar 95,1 %.