Analisis Koneksi Pelangi Titik pada Keluarga Graf Roda dan Operasi Shakel Dikaitkan dengan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi

Abstract

Koneksi pelangi titik merupakan salah satu topik pada teori graf yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari seperti representasi dari suatu jaringan informasi dan proses pendistribusian. Koneksi pelangi titik merupakan pewarnaan titik pada suatu graf dimana setiap titik dihubungkan oleh lintasan yang memiliki titik-titik interior dengan warna berbeda. Misalkan pada graf G terhubung yang tak trivial G = (V (G);E(G)) dide¯nisikan suatu pewarnaan c0 : V (G) ! f1; 2; 3; :::; kg dengan titik interior berbeda yang disebut koneksi pelangi titik. Lintasan u ¡ v di G disebut lintasan pelangi titik jika semua titik internal pada lintasan di G memiliki warna yang berbeda. Bilangan bulat terkecil dari warna yang dibutuhkan untuk menghasilkan suatu koneksi pelangi titik pada graf G disebut dengan bilangan koneksi pelangi titik, dinotasikan sebagai rvc(G). Krivelevich dan Yuster (2009) menyatakan teorema batas bawah dari koneksi pelangi titik pada suatu graf G adalah: misalkan G adalah graf terhubung dengan diam(G), maka rvc(G) ¸ diam(G) ¡ 1. Diameter dari graf G, dinotasikan dengan diam(G), adalah eksentrisitas maksimal di G. Eksentrisitas (eccentricity) sebuah titik v dari graf G, dinotasikan dengan ecc(v), adalah jarak titik v ke titik terjauh dari v. Graf yang digunakan untuk penelitian dalam koneksi pelangi titik adalah beberapa keluarga graf roda yang terdiri dari graf kipas, graf jahangir, graf semi jahangir dan graf bunga matahari serta hasil operasi shakel titik dari graf jahangir. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deskriptif aksiomatik dalam menentukan bilangan koneksi pelangi titik pada graf yang diteliti yang dikaitkan dengan keterampilan berpikir tingkat tinggi. Keterampilan berpikir tingkat tinggi didasarkan pada enam tahapan Taksonomi Bloom Revisi yang meliputi mengingat, memahami, menerapkan, menganalisis, mengevaluasi dan mencipta. Penelitian ini menghasilkan lima teorema sebagai berikut: Teorema 1 Misalkan Fn adalah graf kipas dengan n ¸ 2, bilangan koneksi pelangi titik dari graf kipas Fn adalah rvc(Fn) = 1. Teorema 2 Misalkan Jn adalah graf jahangir dengan n ¸ 2, bilangan koneksi pelangi titik dari graf jahangir Jn adalah rvc(Jn) = ( n ¡ 1; untuk n = 2; 3 3; untuk n ¸ 4 Teorema 3 Misalkan SJn adalah graf jahangir dengan n ¸ 2, bilangan koneksi pelangi titik dari graf jahangir SJn adalah rvc(SJn) = ( n ¡ 1; untuk n = 2; 3 3; untuk n ¸ 4 Teorema 4 Misalkan Sfn adalah graf bunga matahari dengan n ¸ 2, bilangan koneksi pelangi titik dari graf bunga matahari Sfn adalah rvc(Sfn) = ( bn 2 c; untuk 2 · n · 5 3; untuk n ¸ 6 Teorema 5 Misalkan Shack(Jn; v;m) adalah graf hasil operasi shakel titik dari graf jahangir Jn dengan n ¸ 2 dan m ¸ 2, bilangan koneksi pelangi titik dari graf Shack(Jn; v;m) adalah. rvc(Shack(Jn; v;m)) = ( 2m ¡ 1; untuk n = 2 2m + 1; untuk n ¸ 3 Kaitan antara keterampilan berpikir tingkat tinggi dan koneksi pelangi titik dari awal hingga akhir penelitian yaitu mengingat (mengulang kembali de¯nisi dan teorema yang berkaitan dengan graf yang diteliti dan koneksi pelangi titik), memahami (menjabarkan himpunan titik dan himpunan sisi dilanjutkan menguraikan eksentrisitas dari setiap titik pada masing-masing graf yang diteliti), menerapkan (menentukan diameter berdasarkan eksentrisitas maksimal dan menerapkan pewarnaan pelangi titik pada graf yang diteliti), menganalisis (menghubungkan diameter dengan banyak pewarnaan pelangi titik dan memecah hasil observasi diameter dan hasil pewarnaan pelangi titik menjadi beberapa kasus), mengevaluasi (memprediksi batas bawah dan batas atas sehingga dapat menjusti¯kasi bilangan koneksi pelangi titik) dan mencipta (menentukan teorema baru dari formulasi rumus yang ditemukan).