IMPLEMENTASI METODE DISCONTINUOUS GALERKIN PADA PERSAMAAN EULER-BERNOULLI BEAM

Abstract

Persamaan Euler-Bernoulli Beam merupakan salah satu persamaan klasik dalam dunia engineering. Pada dasarnya, persamaan Euler-Bernoulli Beam mendeskripsikan defleksi atau pelengkungan dari beam yang mengalami getaran bebas (model homogen). Beam dapat didefinisikan sebagai salah satu komponen struktural penyusun suatu benda tertentu, contohnya pada struktur jembatan. Dalam prakteknya, beam dapat mengalami vibrasi akibat adanya gaya yang mempunyai potensi destruktif, misalnya gaya seismik. Vibrasi tersebut selanjutnya dapat mengalami pemusatan pada bagian sensitif dari beam karena pengaruh resonansi. Dampaknya, beam akan mengalami defleksi yang mengakibatkan ketahanan struktur benda menurun dan kemudian dapat berkontribusi pada kerusakan struktur benda tersebut. Oleh karena itu, proses deteksi terhadap pemusatan vibrasi pada bagian sensitif ini merupakan hal yang sangat penting untuk dilakukan. Dalam kaitannya dengan proses deteksi tersebut, salah satu hal yang dapat diupayakan adalah menganalisis perilaku solusi persamaan Euler-Bernoulli Beam. Persamaan Euler-Bernoulli Beam dapat diselesaikan secara numerik diantaranya dengan metode Discontinuous Galerkin (DG). Metode DG merupakan klasifikasi dari metode finite element. Metode DG ini menggunakan fungsi diskontinu sebagai solusi numerik untuk menghampiri solusi eksak. Fungsi diskontinu yang digunakan pada metode ini seringkali berupa piecewise polynomial. Implementasi dari metode DG menghasilkan suatu Sistem Persamaan Linier (SPL). Sistem Persamaan Linier yang terbentuk berkarakteristik sparse karena matriks yang mengilustrasikan SPL tersebut berkarakteristik sparse. Selanjutnya, metode Quasi Minimal Residual (QMR) diimplementasikan untuk menyelesaikan SPL tersebut. Metode QMR adalah suatu metode iterasi yang bersifat non-stasioner atau dengan kata lain suatu konstan tertentu yang terbentuk dari hasil perkalian dalam residual atau vektor lainnya yang muncul dalam proses iterasi dari metode ini turut dikomputasikan pada setiap iterasinya. Metode QMR ini merupakan kelas dari metode subruang Krylov. Metode QMR pada penelitian ini diimplementasikan bersama dengan suatu preconditioner yang disebut preconditioner Diagonal Incomplete Lower Upper Factorization (D-ILU). Penelitian dilakukan dalam beberapa skema. Skema pertama kajian tentang persamaan Euler-Bernoulli Beam. Skema kedua yaitu pengimplementasian metode DG. Skema ketiga adalah konstruksi preconditioner D-ILU. Skema keempat yaitu pengimplementasian metode QMR dan preconditioner D-ILU pada SPL. Skema kelima adalah pembuatan dan simulasi program dengan menggunakan software Matlab R2008b. Skema terakhir yaitu analisis hasil simulasi. Berdasarkan simulasi dan analisis yang telah dilakukan, dapat diketahui bahwasannya nilai-nilai frekuensi angular yang dihasilkan dari pengimplementasian metode DG ini cukup baik atau dengan kata lain nilai error yang dihasilkan relatif kecil. Sedangkan untuk nilai defleksi yang dihasilkan, berdasarkan nilai L2 error yang dihasilkan, mengisyaratkan bahwasannya bahwasannya kinerja dari metode QMR dan preconditioner D-ILU pada kasus cantilever beam tidak cukup baik. Hal terjadi dimungkinkan karena pengimplementasian metode QMR tanpa proses look-ahead ataupun karena pemilihan preconditioner yang kurang sesuai.