Kekuatan Ketidakteraturan Modular pada Graf 𝑃𝑛 ⊙ 𝑃3

Abstract

Pelabelan graf adalah pemberian label (biasanya bilangan bulat) pada elemen dari graf (titik dan/atau sisi) dengan syarat tertentu. Jika pelabelan diberikan pada setiap titik disebut pelabelan titik, sedangkan jika pelabelan yang diberikan pada setiap sisi disebut pelabelan sisi. Apabila pelabelan diberikan pada setiap titik dan sisi, maka pelabelan ini disebut pelabelan total. Pelabelan-𝑘 sisi 𝑓: 𝐸(𝐺) → {1, 2, … , 𝑘} merupakan pelabelan-𝑘 tak teratur modular pada G jika terdapat fungsi bijektif 𝑤: 𝑉(𝐺) → 𝑍𝑛. Bobot setiap titik diperoleh dengan menjumlahkan setiap label sisi yang incident dan ditentukan dengan menggunakan penjumlahan modulo 𝑛. Nilai kekuatan ketidakteraturan modular dari 𝐺 adalah bilangan bulat positif terkecil 𝑘 sedemikian sehingga 𝐺 memiliki pelabelan-𝑘 tak teratur modular. Nilai kekuatan ketidakteraturan modular dari 𝐺 dinotasikan dengan 𝑚𝑠(𝐺). Jika tidak terdapat nilai 𝑘 yang memenuhi pelabelan ketidakteraturan modular dari 𝐺, maka didefinisikan 𝑚𝑠(𝐺) = ∞. Pada penelitian kali ini, akan dicari nilai kekuatan ketidakteraturan modular pada graf 𝑃𝑛 ⊙ 𝑃3. Metode yang digunakan dalam penelitian adalah dengan membuktikan teorema batas bawah yang sebelumnya telah dirumuskan oleh peneliti sebelumnya kemudian dilanjutkan dengan membuktikan batas atas dengan mencari pola label yang terbentuk sehingga didapatkan fungsi label dan fungsi bobot. Penelitian ini menghasilkan nilai kekuatan ketidakteraturan modular pada graf 𝑃𝑛 ⊙ 𝑃3 adalah 𝑛 + 1.