Pelabelan Elegant pada Graf Tangga Segitiga, Graf Gunung Api, dan Graf Buku Segitiga

Abstract

Pelabelan elegant pada suatu graf 𝐺 yang memiliki 𝑛 titik dan 𝑚 sisi adalah pemetaan injektif (satu-satu) dari himpunan titik ke himpunan bilangan bulat (tak negatif), 𝑓: 𝑉(𝐺) → {0,1,2,3, … , 𝑚} sedemikian sehingga memiliki label sisi yang berbeda dan bukan nol. Label sisi diperoleh dengan cara penjumlahan dari label titik yang bersisian pada sisi tersebut dalam modulo (𝑚 + 1) yaitu 𝑓 ∗ (𝑒) = 𝑓 ∗ (𝑢𝑣) = [𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣)] mod(𝑚 + 1) dan 𝑓 ∗ (𝑒) ≠ 0. Penelitian ini membahas mengenai pelabelan elegant pada graf tangga segitiga 𝑇𝐿𝑛, graf gunung api 𝑉𝑛, dan graf buku segitiga 𝐵𝑇𝑛. Graf tangga segitiga adalah graf tangga dengan sebuah sisi tambahan diagonal. Graf gunung api adalah graf yang diperoleh dengan melekatkan salah satu titik graf segitiga dengan titik pusat graf bintang. Graf buku segitiga adalah graf yang diperoleh dengan melekatkan salah satu sisi dari kumpulan graf segitiga. Langkah-langkah yang dilakukan yaitu menotasikan titik dan sisi pada graf tangga segitiga, graf gunung api, dan graf buku segitiga; dan melabeli setiap titik dengan memenuhi fungsi injektif. Selanjutnya menghitung label sisi dengan menjumlahkan label titik yang bersisian dengan sisi tersebut. Jika label sisi berbeda semua dan tidak nol maka graf tangga segitiga, graf gunung api, dan graf buku segitiga merupakan graf elegant. Penelitian ini bertujuan untuk menyelidiki apakah graf tangga segitiga, graf gunung api, dan graf buku segitiga merupakan graf elegant. Graf tangga segitiga 𝑇𝐿𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2, graf gunung api 𝑉𝑛 dengan 𝑛 ≥ 1, dan graf buku segitiga 𝐵𝑇𝑛 dengan 𝑛 ≥ 1 dapat dilabeli dengan aturan pelabelan elegant sehingga ketiganya merupakan graf elegant. Penelitian ini juga memperoleh cara membentuk graf elegant baru dengan menambah atau menghapus sisi dari graf elegant yang sudah ada.