Pelabelan Harmonis Genap Sejati pada Graf P(n,2)

Abstract

Pelabalen harmonis genap sejati diperkenalkan oleh Gallian dan Stewart pada tahun 2015. Graf 𝐺(𝑝,𝑞) dengan 𝑝 simpul dan 𝑞 busur dikatakan graf harmonis genap sejati jika terdapat 𝑓 fungsi injektif yang memetakan himpunan simpul dari 𝐺 ke bilangan bulat tak negatif {0,1,2,…2𝑞−1}, sedemikian sehingga akan menghasilkan 𝑓∗ fungsi bijektif yang memetakan himpunan busur ke himpunan genap tak negatif {0,2,…2(𝑞−1)}, dengan 𝑓∗(𝑢𝑣)=(𝑓(𝑢)+𝑓(𝑣))(mod 2𝑞). Penelitian mengenai pelabelan harmonis genap sejati telah diterapkan pada beberapa graf, empat diantaranya yaitu graf 𝐾4∪𝑆𝑛, graf 𝑛𝑃𝑚, graf 𝑚𝑃3, dan graf Petersen diperumum 𝑃𝑛,1. Penelitian ini membahas tentang pelabelan harmonis genap sejati pada graf Petersen diperumum 𝑃𝑛,2. Graf harmonis genap sejati adalah graf yang memenuhi aturan dari pelabelan harmonis genap sejati, akan dibuktikan bahwa graf Petersen diperumum 𝑃𝑛,2 merupakan graf harmonis genap sejati. Hal ini dapat ditunjukkan dengan melakukan beberapa langkah yaitu melakukan penotasian simpul dan busur pada graf 𝑃𝑛,2 dengan 𝑛≥5 dan 𝑛 merupakan bilangan bulat positif, memberi label simpul pada graf 𝑃𝑛,2 dengan cara mendefinisikan fungsi 𝑓:𝑉(𝑃𝑛,2)→{0,2,4,⋯,2(𝑞−1)} atau 𝑓:𝑉(𝑃𝑛,2)→{1,3,5,⋯,2𝑞−1}, menghitung label busur graf 𝑃𝑛,2 dengan menggunakan 𝑓∗(𝑢𝑣)=(𝑓(𝑢)+𝑓(𝑣))(mod 2𝑞), membentuk fungsi pelabelan harmonis genap sejati, membuktikan bahwa graf 𝑃𝑛,2 merupakan graf harmonis genap sejati, dan menentukan rumus umum pelabelan harmonis genap sejati pada graf 𝑃𝑛,2. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menemukan pola dan rumus umum pelabelan harmonis genap sejati pada graf Petersen diperumum 𝑃𝑛,2. Berdasarkan penelitian didapatkan bahwa graf Petersen diperumum 𝑃𝑛,2 merupakan graf harmonis genap sejati jika 𝑛 ganjil dan 𝑛≥5. Peneliti belum menemukan pola pelabelan harmonis genap sejati pada graf 𝑃𝑛,2 jika 𝑛≥5 dan 𝑛 genap, sehingga pembahasan ini masih bisa untuk disempurnakan dengan mencari pola dan rumus umum pelabelan harmonis genap sejati pada graf 𝑃𝑛,2 jika 𝑛≥5 dan 𝑛 genap.