PEWARNAAN LOKAL TITIK ANTIMAGIC PADA GRAF BUKU SEGITIGA DAN GUNUNG API SERTA GRAF HASIL OPERASI JOIN

Abstract

Teori graf merupakan salah satu bagian dari ilmu matematika yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persoalan dalam kehidupan sehari-hari sehingga lebih mudah. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan sisi atau garis. Terdapat banyak pokok bahasan dalam teori graf, salah satunya adalah pewarnaan. Pewarnaan diartikan sebagai pemberian warna berbeda pada setiap elemen graf sehingga tidak ada dua elemen yang bertetangga dengan warna yang sama. Pewarnaan dibagi menjadi tiga, yaitu pewarnaan titik, pewarnaan sisi dan pewarnaan wilayah. Pewarnaan titik pada graf adalah memberikan warna berbeda pada setiap titik yang bertetangga sehingga tidak ada dua titik yang bertetangga dengan warna yang sama. Terdapat topik pewarnaan titik yang masih perlu perkembangan yaitu Pewarnaan Lokal Titik Antimagic. Misalkan graf G = (V;E) adalah suatu graf terhubung tak berarah yang tidak memiliki loop dan sisi ganda dengan jV j = n dan jEj = m. Suatu fungsi bijektif f : E ! f1; 2; : : : ;mg disebut dengan pelabelan lokal antimagic jika untuk semua uv 2 E dihasilkan w(u) 6= w(v) dimana w(u) = P e2E(u) f(e). Banyaknya warna minimum yang diambil dari semua warna graf G yang dihasilkan oleh pelabelan lokal antimagic disebut bilangan kromatik la(G). Untuk sebarang graf G, la(G) (G), dimana (G) adalah bilangan kromatik dari pewarnaan biasa pada graf G. Penelitian ini membahas lebih lanjut tentang pewarnaan lokal titik antimagic pada beberapa graf sederhana dan graf hasil operasi join. Graf-graf sederhana yang digunakan antara lain graf buku segitiga (BTn), graf gunung api (Vn). Sedangkan graf hasil operasi yang digunakan adalah graf join K1 + BTn, graf join K1 + Vn, graf join K1 +Wn untuk n 3, graf join K2 + BTn, graf join K3 + BTn, graf join K3 + Vn dan graf join W3 + BTn. Dari hasil penelitian didapatkan bilangan kromatik pewarnaan lokal titik antimagic pada graf buku segitiga (BTn) yaitu la(BTn) = 3; graf gunung api (Vn) yaitu la(Vn) = n + 1 untuk n 2; graf join K1 + BTn yaitu la(K1 + BTn) = 4; graf join K1 + Vn yaitu la(K1 + Vn) = 4; graf join K1 + Wn untuk n 3 yaitu la(K1 + Wn) = 5 untuk n ganjil dan la(K1 + Wn) = 4 untuk n genap; graf join K2 + BTn yaitu la(K2 + BTn) = 5, graf join W3 + BTn yaitu la(W3 + BTn) = 7 dan graf join K3 + Vn yaitu la(C3 + Vn) = 6. Bilangan kromatik pewarnaan lokal titik antimagic pada graf buku segitiga sama dengan batas bawahnya yaitu la(BTn) = (BTn), sedangkan pada graf gunung api lebih besar atau sama dengan batas bawahnya yaitu la(Vn) (Vn), karena graf gunung api memiliki n titik berderajat 1. Dari semua graf join yang digunakan, bilangan kromatik pewarnaan lokal titik antimagic-nya sama dengan batas bawahnya yaitu la(G1 + G2) = (G1 + G2) = (G1) + (G2).