Super (a,d)-H-Antimagic Total Selimut pada Graf Semi Jahangir

Abstract

Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh Sedlacek (1963), Stewart (1967), Kotzig dan Rosa (1970). Pelabelan dikembangkan menjadi pelabelan ajaib dan anti ajaib. Pelabelan super (a,d)-H-antimagic total selimut merupakan suatu graf G = (V (G),E(G)) dengan H merupakan subgraf dari G dimana untuk setiap sisinya termuat dalam subgraf H dan G yang isomorfik dengan H. Inayah et al. (2009) mengembangkan suatu pelabelan super (a,d)-H-antimagic total selimut yaitu bahwa suatu pelabelan selimut (a,d)-H-antimagic pada graf G merupakan sebuah fungsi bijektif sehingga terdapat barisan aritmatika {a, a + d, a + 2d+, ...,+a + (t − 1)d}. Pada penelitian ini mengkaji mengenai super H-antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir tunggal dan gabungan saling lepas. Graf Semi Jahangir adalah graf yang terbentuk dari graf Jahangir dengan menghilangkan satu titik yang berderajat dua. Graf Semi Jahangir dinotasikan dengan SJn dengan n ≥ 2. Himpunan titik graf SJn adalah V = {p, xi, yk; 1 ≤ i ≤ n + 1; 1 ≤ k ≤ n} dan himpunan sisinya E = {pxi; 1 ≤ i ≤ n + 1} ∪ {xiyi; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {xi+1yi; 1 ≤ i ≤ n}, sehingga kardinalitas |V | = 2n + 2 dan sisi |E| = 3n + 1. Adapun graf Semi Jahangir mSJn diskonektif didefinisikan sebagai gabungan dari sebanyak m salinan graf Semi Jahangir yang mempunyai himpunan titik V (mSJn) = {pj , xj i , yj k; untuk 1 ≤ i ≤ n + 1, 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} dan sisi E(mSJn) = {pjxj i ; 1 ≤ i ≤ n + 1, 1 ≤ j ≤ m} ∪ {xj i yj i ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ∪ {yj i xj i+1; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deduktif. Metode ini digunakan pada pelabelan super (a, d)-H antimagic total selimut pada graf viii Semi Jahangir tunggal dan gabungan. Batas atas untuk graf Semi Jahangir tunggal pada penelitian ini adalah d ≤ 20, sedangkan batas atas untuk gabungan saling lepas graf Semi Jahangir adalah d ≤ 25. Sehingga, teorema baru yang dihasilkan adalah sebagai berikut: Dari hasil penelitian pada beberapa nilai d tersebut diatas, diperoleh 22 teorema baru tentang pelabelan graf Semi Jahangir tunggal SJn maupun gabungannya mSJn, yaitu: 1. Teorema 4.1.1 Ada super ( 31n+42 2 , 0)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n genap. Dan ada super ( 31n+41 2 , 0)- (C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n ganjil ; 2. Teorema 4.1.2 Ada super (15n + 21, 1)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 3. Teorema 4.1.3 Ada super ( 29n+44 2 , 2)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n genap. Dan ada super ( 29n+43 2 , 2)- (C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n ganjil ; 4. Teorema 4.1.4 Ada super (15n + 21, 3)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 5. Teorema 4.1.5 Ada super ( 27n+46 2 , 4)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n genap. Dan ada super ( 27n+45 2 , 4)- (C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n ganjil ; 6. Teorema 4.1.6 Ada super (13n + 23, 5)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 7. Teorema 4.1.7 Ada super ( 25n+48 2 , 6)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n genap. Dan ada super ( 25n+47 2 , 6)- (C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n ganjil ; ix 8. Teorema 4.1.8 Ada super (14n + 22, 7)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 9. Teorema 4.1.9 Ada super ( 23n+50 2 , 8)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n genap. Dan ada super ( 23n+49 2 , 8)- (C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n ganjil ; 10. Teorema 4.1.10 Ada super (11n+25, 9)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 11. Teorema 4.1.11 Ada super (13n+23, 10)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 12. Teorema 4.1.12 Ada super ( 21n+52 2 , 11)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n genap. Dan ada super ( 21n+51 2 , 11)- (C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n ganjil ; 13. Teorema 4.1.13 Ada super (10n+26, 12)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 14. Teorema 4.1.14 Ada super (11n+25, 13)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 15. Teorema 4.1.15 Ada super ( 19n+54 2 , 14)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n genap. Dan ada super ( 19n+53 2 , 14)- (C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2 dan n ganjil ; 16. Teorema 4.1.16 Ada super (9n+27, 15)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; 17. Teorema 4.1.17 Ada super (8n+28, 18)-(C4) antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn untuk n ≥ 2; x 18. Teorema 4.2.1 Ada super (18mn+14m+4, 0)-(C4) antimagic total selimut pada gabungan saling lepas graf Semi Jahangir mSJn untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2; 19. Teorema 4.2.2 Ada super (17mn+14m+5, 2)-(C4) antimagic total selimut pada gabungan saling lepas graf Semi Jahangir mSJn untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2; 20. Teorema 4.2.3 Ada super (16mn+14m+6, 4)-(C4) antimagic total selimut pada gabungan saling lepas graf Semi Jahangir mSJn untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2; 21. Teorema 4.2.4 Ada super (15mn+14m+7, 6)-(C4) antimagic total selimut pada gabungan saling lepas graf Semi Jahangir mSJn untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2; 22. Teorema 4.2.5 Ada super ( 23mn+34m+16 2 , 8)-(C4) antimagic total selimut pada gabungan saling lepas graf Semi Jahangir mSJn untuk n ≥ 2, m ≥ 2 dan n genap. dan ada super ( 23mn+33m+16 2 , 8)-(C4) antimagic total selimut pada gabungan saling lepas graf Semi Jahangir mSJn untuk n ≥ 2, m ≥ 2 dan n genap. Dari kajian diatas ada beberapa pelabelan yang belum ditemukan oleh peneliti sehingga dalam penelitian ini diajukan open problem. Masalah terbuka 0.0.1. Pelabelan super (a, d)-H antimagic total selimut pada graf Semi Jahangir SJn dengan n ≥ 2 untuk d ≤ 20 selain d ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18}. Masalah terbuka 0.0.2. Pelabelan super (a, d)-H antimagic total selimut pada gabungan saling lepas graf Semi Jahangir mSJn dengan n ≥ 2 dan m ≥ 2 untuk d ≤ 24 selain d ∈ {0, 2, 4, 6, 8}. xi