PELABELAN SUPER (a,d)-H-ANTIMAGIC TOTAL DEKOMPOSISI PADA SHAKEL DARI GRAF KIPAS
Abstract
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh L. Euler, matematikawan asal
Swiss pada tahun 1736. Ide besarnya muncul sebagai upaya dalam menyelesaikan
masalah jembatan Konigsberg menggunakan graf. Permasalahan yang cukup
menarik dalam teori graf adalah pelabelan graf yang diperkenalkan oleh Rosa
di tahun 1967.Pada Tahun 2012 Inayah dkk mengembangkan pelabelan total antimagic
covering yang merupakan suatu fungsi bijektif sehingga terdapat bobot
yang merupakan deret aritmatika a, a + d, a + 2d, ..., a + (t − 1)d dengan label
co-vering pada graf selalu berbeda dan berurutan. Suatu graf G = (V (G),E(G))
de-ngan subgraf H(G) memiliki pelabelan covering jika terdapat minimal satu
sisinya yang digunakan bersama dalam subgraf H(G) dari G yang isomorfik dengan
H. Jika tidak terdapat sisi yang digunakan bersama, maka diperoleh definisi
dekomposisi graf.
Pada penelitian ini mengkaji mengenai pelabelan super H-antimagic total
dekomposisi pada shackle dari graf kipas tunggal SFn
4 dan gabungan saling lepas
mSFn
4 . Shakel dari graf kipas tunggal SFn
4 memiliki titik V (SFn
4 ) = {xi, yj; 1 ≤
i ≤ n; 1 ≤ j ≤ 3n + 1} dan sisi E(SFn
4 ) = {xiyj ; 1 ≤ i ≤ n ; 3i − 2 ≤ j ≤
3i + 1}S{yjyj+1; 1 ≤ i ≤ n ; 3i − 2 ≤ j ≤ 3i}. Sedangkan untuk gabungan saling
lepasnya memiliki titik V (mSFn
4 ) = {xki
, yk
j ; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ 3n + 1 ; 1 ≤
k ≤ m} dan sisi E(mSFn
4 ) = {xki
yk
j ; 1 ≤ i ≤ n ; 3i − 2 ≤ j ≤ 3i + 1 1 ≤ k ≤
m}S{yk
j yk
j+1; 1 ≤ i ≤ n ; 3i − 2 ≤ j ≤ 3i 1 ≤ k ≤ m}.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini, metode deduktif. Langkahlangkah
dalam metode deduktif yaitu memilih graf, lalu mencari kardinalitas dari
elemen graf beserta batas atasnya, melabeli sampai terbentuk pola. Setelah itu
viii
dicari pelabelan sisi pada graf sedemikian hingga menghasilkan bobot total yang
membentuk barisan aritmatika. Langkah akhir dalam metode ini adalah menentukan
fungsi bijektif untuk pelabelan total graf. Metode ini digunakan pada pelabelan
super (a,d)-H- dekomposisi antimagic pada shakel graf kipas tunggal dan
gabungan. kemudian diterapkan dalam pelabelan super (a,d)-H-antimagic total
dekomposisi pada shackle dari graf kipas baik yang tunggal maupun gabungan
saling lepasnya. Pada penelitian ini Di peroleh batas atas d ≤ 69 untuk konektif
dan d < 71 untuk diskonektif. Sehingga, teorema baru yang dihasilkan adalah
sebagai berikut:
Pelabelan super (63n+15, 0), (62n+16, 2), (61n+17, 4), (60n+18, 6), (59n+
19, 8), (58n+20, 10), (57n+21, 12), (56n+22, 14), (55n+23, 16), (54n+24, 18),
(53n+25, 20), (39n+63, 24), (50n+28, 26), (49n+29, 28), (46n+32, 34), (32n+
70, 38), (43n+35, 40), (42n+36, 42), (39n+39, 48), (36n+42, 54), (35n+43, 56),
(32n+46, 62), antimagic total dekomposisi untuk graf tunggal. Pada teorema yang
ditemukan dapat digolongkan menjadi 4 bagian berdasarkan permutasi titik yang
digunakan, yaitu ditemukan sebanyak 4 permutasi label titik. Permutasi titik
pertama menghasilkan 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.1.4, 4.1.5, 4.1.6, 4.1.7, 4.1.8, 4.1.14,
4.1.18 dan 4.1.21. Permutasi titik kedua menghasilkan 4.1.9, 4.1.10, 4.1.11, 4.1.15,
4.1.19, dan 4.1.22. Permutasi titik ketiga menghasilkan 4.1.12 dan 4.1.16. Dan
untuk permutasi titik ke empat menghasilkan 4.1.13, 4.1.17, dan 4.1.20.
pelabelan super (62mn+10mn+6, 0) (61mn+10m+7, 2) (60mn+10m+8, 4)
(59mn + 10m + 9, 6) (58mn + 10m + 10, 8) (57mn + 10m + 11, 10) (56mn +
10m + 12, 12) (49mn + 10m + 19, 26) (42mn + 10m + 26, 40) (35mn + 10m +
33, 54) antimagic total dekomposisi untuk gabungan graf saling lepas. Untuk graf
gabungan saling lepas hanya menggunakan 1 permutasi titik untuk mengdapatkan
10 teorema.
ix