Super ( A, D)-H-Antimagic Total Covering pada Amalgamasi Graf Kipas

Abstract

Pelabelan covering ajaib pertama kali diperkenalkan oleh Gutierrez and Llado (2005) yang dikembangkan dari pelabelan total ajaib. Pelabelan covering H ajaib pada sebuah graf G = (V (G),E(G)) jika setiap garis pada E(G) termuat dalam subgraf H dari G yang isomorfik dengan H dan H merupakan subgraf dari G. Kemudian dikembangkan menjadi pelabelan selimut H−antimagic oleh Inayah (2013) yaitu suatu pelabelan covering H − antimagic pada graf G yang memi- liki sebuah fungsi bijektif sehingga terdapat jumlahan yang merupakan barisan aritmatika a, a + d, a + 2d, ..., a + (s − 1)d. Pada penelitian ini mengkaji mengenai pelabelan super H-antimagic cov- ering pada amalgamasi graf kipas tunggal dan gabungan saling lepas. Amalga- masi graf kipas yang dinotasikan dengan amal(Fn, Pn, 2) adalah sebuah graf yang dikembangkan dari graf kipas. Amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) konek- tif memiliki himpunan vertex, V = {a, xi, b; 1 ≤ i ≤ n} dan himpunan edge, E = {axi, bxi; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {xixi+1; 1 ≤ i ≤ n − 1}. Amalgamasi graf kipas m amal(Fn, Pn, 2) diskonektif memiliki himpunan titik V = {aj , xi j , bj ; 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ m} dan himpunan sisi E = {axj i , bxj i ; 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ m} ∪ {xixj i+1; 1 ≤ i ≤ n − 1 ; 1 ≤ j ≤ m}. Metode yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu Pendeteksian pola (pattern recognition) kemudian dilakukan metode deduktif aksiomatik, yaitu menu- runkan teorema tersebut, kemudian diterapkan dalam pelabelan super (a,d)-H- antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) baik yang tunggal maupun gabungan saling lepasnya. Batas atas pada amalgamasi graf kipas konektif pada penelitian ini adalah d ≤ 19 sedangkan pada gabungan sal- vii ing lepas adalah d ≤ 41. Sehingga, teorema baru yang dihasilkan adalah sebagai berikut: 1. ada pelabelan super ( 29n+32 2 , 0)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n genap dan pelabelan super ( 29n+25 2 , 0)-B2 antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n ganjil yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.1; 2. ada pelabelan super (13n+19, 1)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.2; 3. ada pelabelan super ( 27n+36 2 , 2)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n genap dan pelabelan super ( 27n+37 2 , 2)-B2 antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n ganjil yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.3; 4. ada pelabelan super (11n+23, 3)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.4; 5. ada pelabelan super ( 25n+40 2 , 4)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n genap dan pelabelan super ( 25n+41 2 , 4)-B2 antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n ganjil yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.5; 6. ada pelabelan super (13n+19, 5)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.6; 7. ada pelabelan super ( 21n+48 2 , 6)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n genap dan pelabelan viii super ( 21n+49 2 , 6)-B2 antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n ganjil yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.7; 8. ada pelabelan super (9n + 27, 7)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.8; 9. ada pelabelan super ( 21n+48 2 , 8)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n genap dan pelabelan super ( 21n+49 2 , 8)-(B2) antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n ganjil yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.9; 10. ada pelabelan super (11n+23, 9)-Bn antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.10; 11. ada pelabelan super ( 15n+60 2 , 10)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n genap dan pelabelan super ( 15n+61 2 , 10)-B2 antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n ganjil yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.11; 12. ada pelabelan super (8n+29, 11)-Bn antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.12; 13. ada pelabelan super (7n + 31, 13)-B2 antimagic total covering pada amal- gamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n genap dan pelabelan super (7n+33, 13)-B2 antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n ganjil yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.13; ix 14. ada pelabelan super ( 15n+60 2 , 14)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n genap dan pelabelan super ( 15n+63 2 , 14)-B2 antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan n ganjil yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.14; 15. ada pelabelan super (6n+33, 17)-B2 antimagic total covering pada amalga- masi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.15; 16. ada pelabelan super ((m+ 5 2 )n2+(2m+ 13 2 )n+m+4, 9)-Bn antimagic total covering pada generalisasi amalgamasi graf kipas amal(Fm, Pm, n) untuk m ≥ 2 dan n ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.1.16; 17. ada pelabelan super (12mn + 16m+ 5, 1)-B2 antimagic total covering pada gabungan saling lepas dari amalgamasi graf kipas m Amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.2.1; 18. ada pelabelan super (11nm+ 17m+ 6, 3)-B2 antimagic total covering pada gabungan saling lepas dari amalgamasi graf kipas m Amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.2.2; 19. ada pelabelan super (10nm+ 18m+ 7, 5)-B2 antimagic total covering pada gabungan saling lepas dari amalgamasi graf kipas m Amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.2.3; 20. ada pelabelan super (9nm + 19m + 8, 7)-B2 antimagic total covering pada gabungan saling lepas dari amalgamasi graf kipas m Amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.2.4; x 21. ada pelabelan super (8nm + 20m + 9, 9)-B2 antimagic total covering pada gabungan saling lepas dari amalgamasi graf kipas m Amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.2.5; 22. ada pelabelan super (7nm+21m+10, 11)-B2 antimagic total covering pada gabungan saling lepas dari amalgamasi graf kipas m Amal(Fn, Pn, 2) untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2 yang telah dibuktikan melalui pembuktian pada teorema 4.2.6. Dari kajian diatas ada beberapa pelabelan yang belum ditemukan oleh peneliti sehingga dalam penelitian ini diajukan open problem. Masalah terbuka 0.0.1. Pelabelan super (a, d)-H antimagic total covering pada amalgamasi graf kipas amal(Fn, Pn, 2) dengan n ≥ 2 untuk d{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17 dan d ∈ 9 untuk expand dari amalgamasi graf kipas. Masalah terbuka 0.0.2. Pelabelan super (a, d)-H antimagic total covering pada gabungan saling lepas amalgamasi graf kipas m amal(Fn, Pn, 2), dengan n ≥ 2 dan m ≥ 2 untuk d ≤ 41 selain d ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11}. xi