PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN METODE MODIFIED RICHARDSON-UNSYMMETRIC MODIFIED SUCCESSIVE OVER RELAXATION

Abstract

Sistem persamaan linier merupakan model umum dan persoalan matematika yang sering ditemukan dalam berbagai disiplin ilmu. Terdapat dua kelompok metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, yaitu metode langsung dan metode tak langsung atau metode iteratif (Sahid, 2012). Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode iteratif yaitu gabungan dari metode Modified Richardson dan metode Unsymmetric Modified Successive Over Relaxation dengan prinsip prediktor korektor yang kemudian disebut sebagai metode Modified Richardson-Unsymmetric Modified Successive Over Relaxation. Untuk mengetahui performa metode gabungan tersebut, hasil yang diperoleh dibandingkan dengan metode iteratif lain yaitu metode Modified Richardson, metode Unsymmetric Modified Successive Over Relaxation, dan metode Gauss Seidel. Penelitian dilakukan dengan menyelesaikan 11 kasus sistem persamaan linier (SPL) berukuran 9x9, 12x12, 25x25, 40x40, 50x50, 60x60, 225x225, 282x282, 450x450 dan 729x729 dimana 4 dari 11 kasus tersebut merupakan SPL yang tidak diketahui nilai eksaknya dan diperoleh dari buku atau jurnal. Sedangkan sisanya merupakan SPL dengan matriks diperoleh dari alamat web Matrix Market. Hasil yang diperoleh masing-masing metode kemudian dibandingkan berdasarkan nilai rate of convergence, jumlah iterasi yang dibutuhkan dan galat yang dihasilkan. Selain itu, penelitian juga dilakukan dengan menyelesaikan satu kasus SPL menggunakan metode Modified RichardsonUnsymmetric MSOR dengan nilai parameter yang berbeda-beda untukviii memperoleh nilai parameter yang dapat meminimumkan galat bagi solusi SPL tersebut. Dari hasil perbandingan nilai rate of convergence matriks iterasi diperoleh bahwa untuk 7 kasus SPL yang berukuran 9x9, 12x12, 25x25, 40x40 (kasus 4), 50x50, 225x225 dan 450x450 metode Modified Richardson-Unsymmetric MSOR menghasilkan nilai rate of convergence yang lebih besar daripada metode lain. Sehingga dalam hal ini dapat dikatakan bahwa metode Modified RichardsonUnsymmetric MSOR lebih baik daripada metode Gauss Seidel, metode Modified Richardson dan metode Unsymmetric MSOR. Sedangkan untuk 4 kasus SPL lainnya dengan ukuran 40x40 (kasus 5), 60x60, 282x282 dan 729x729 dengan nilai spectral radius matriks yang sangat besar matriks iterasi dari metode Modified Richardson-Unsymmetric MSOR menghasilkan nilai rate of convergence yang sama atau lebih besar dari metode Unsymmetric MSOR namun lebih kecil daripada metode Gauss Seidel. Dari hasil perbandingan jumlah iterasi dan galat untuk 7 kasus SPL yang sama, metode Modified Richardson-Unsymmetric MSOR menghasilkan galat yang sama ataupun lebih kecil namun dengan jumlah iterasi yang lebih sedikit daripada metode lain. Sehingga dalam hal ini dapat dikatakan bahwa metode Modified Richardson-Unsymmetric MSOR lebih baik daripada metode Gauss Seidel, metode Modified Richardson dan metode Unsymmetric MSOR. Sedangkan untuk 4 kasus SPL yang telah disebutkan sebelumnya yaitu SPL dengan nilai spectral radius matriks yang sangat besar, metode Modified RichardsonUnsymmetric MSOR menghasilkan galat dan iterasi yang sama dengan metode Unsymmetric MSOR namun lebih kecil daripada metode Gauss Seidel. Sehingga dapat disimpulkan bahwa metode Modified Richardson-Unsymmetric MSOR tidak cocok digunakan untuk SPL dengan matriks yang spectral radiusnya sangat besar.