Efektivitas Metode Runge Kutta Order 9 untuk Menyelesaikan Model Matematika pada Sistem Kekebalan Tubuh terhadap Infeksi Mycobacterium tuberculosis

Abstract

Penyakit TBC atau yang biasa dikenal Tuberkulosis merupakan suatu penyakit infeksi kronis/menahun dan menular yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium tuberculosis yang dapat menyerang pada siapa saja tanpa memandang usia dan jenis kelamin. Namun sesuai fakta yang ada bahwa penderita penyakit TBC lebih banyak menyerang pada usia produktif. Berdasarkan laporan WHO (World Health Organization), disimpulkan bahwa sebanyak 3 juta orang pertahun meninggal karena penyakit tuberkulosis. Model matematika pada sistem kekebalan tubuh terhadap infeksi Mtb (Mycobacterium tuberculosis) telah dikembangkan oleh Friedman, dkk (2008) dengan menggunakan tikus muda dan tikus tua yang terinfeksi Mtb dalam penelitiannya. Model tersebut merupakan sistem persamaan diferensial biasa (PDB) nonlinier order satu yang komplek sehingga untuk menyelesaikannya memerlukan metode numerik. Penelitian ini menganalisis efekti¯tas dan e¯siensi metode Runge-Kutta Order Sembilan dibandingkan dengan metode Adam Bashforth-Moulton Order Sembilan untuk menyelesaikan sistem PDB pada model tersebut. Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh sifat dan formula metode RungeKutta Order Sembilan. Runge-Kutta Order Sembilan merupakan metode yang konvergen karena telah diuji dan dibuktikan secara teoritis bahwa metode tersebut memenuhi syarat Lipschitz dan syarat konvergensi. Akibat dari sifat Runge-Kutta Order Sembilan, penelitian ini menghasilkan dua formula metode Runge-Kutta Order Sembilan dengan ketetapan nilai c 1 ; c 2 ; : : : ; c sama tetapi nilai koe¯sien matrik berbeda. RK9A merupakan metode Runge-Kutta Order Sembilan dengan tetapan c 2 = 1 6 , c 3 = 1 3 , c 4 = 1 3 , c 5 = 1 2 , c 6 = 2 3 , c 7 9 = 2 3 , c 8 = 5 6 = 1 dengan nilai koe¯sien matrik maksimal yaitu nilai koe¯sien matrik penuh (terdiri dari viii , c 9 bilangan bukan nol), sedangkan RK9B merupakan metode Runge-Kutta Order sembilan dengan tetapan c sama tetapi nilai koe¯sien matriknya minimal yaitu nilai koe¯sien matrik lebih banyak bilangan nol. Penulis menggunakan software MATLAB (Matrix Laboratory) untuk menyelesaikan model dengan menggunakan metode Runge-Kutta Order Sembilan dan metode Adam Bashforth-Moulton sebagai pembandingnya. MATLAB yang digunakan adalah MATLAB R2011b dengan processor Intel Xeon. Format programming yang telah disusun berdasarkan algoritma dieksekusi dan menghasilkan data berupa gra¯k ,error, jumlah iterasi, dan waktu tempuh. Gra¯k konvergensi yang dihasilkan menggambarkan bahwa Metode Runge-Kutta Order Sembilan merupakan metode yang konvergen karena error yang dihasilkan semakin menurun pada setiap iterasi. Sedangkan ga¯k lainnya adalah gra¯k solusi model yang berupa hubungan antara B E (Bakteri Ekstraseluler), B (Bakteri Intraseluler), B A (Bekteri Teraktivasi), M A (Makrofag Teraktivasi), M I (Makrofag terinfeksi), IL-2 (Interluekin 2), IL-10 (Interleukin 10), IL-12 (interleukin 12), IFN¡° (Interferon °), T 4 (sel T CD4 + ), dan T 8 (sel T CD8 + I ) terhadap waktu t dalam satuan hari. Analisis e¯siensi dilakukan dengan menetapkan nilai tolerasni yaitu 10 , 10 ¡5 , dan 10 ¡5 . Hasil eksekusi menghasilkan data berupa gra¯k konvergensi, jumlah iterasi dan waktu tempuh. Gra¯k konvergensi yang dihasilkan tidak selalu konsisten, maksudnya error yang terjadi tidak selalu mengalami penurunan. Hal tersebut dikarenakan pengaruh nilai parameter yang sudah ditetapkan pada model. Hasil eksekusi menunjukkan bahwa semakin kecil nilai toleransi yang ditentukan maka iterasi yang dilakukan metode semakin besar dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai toleransi semakin banyak. Dari setiap nilai toleransi, Metode Runge-Kutta dengan nilai koe¯sien matrik minimal memer- lukan waktu yang paling sedikit untuk mencapai nilai toleransi dibanding metode yang lain. Maka dapat dikatakan bahwa metode Runge-Kutta Order sembilan lebih e¯sien dibanding metode Adam Bashforth-Moulton Order Sembilan dalam menyelesaikan model pada sistem kekebalan tubuh terhadap infeksi Mtb.